Question

如圖，以AB為直徑的半圓O交AC于點D，且點D為AC的中點，DE⊥BC于點E，AE交半圓O于點F，BF的延長線交DE于點G．

（1）求證：DE為半圓O的切線；
（2）若GE=1，BF=，求EF的長．

Answer 1

解：（1）證明：如圖，連接OD，

∵AB為半圓O的直徑，D為AC的中點，
∴OD為△ABC的中位線。∴OD∥BC。
∵DE⊥BC，∴DE⊥DO。
又∵點D在圓上，∴DE為半圓O的切線。
（2）∵AB為半圓O的直徑，∴∠AFB=90°。
∵DE⊥BC，∴∠GEB=∠GFE=90°。
∵∠BGE=∠EGF，∴△BGE∽△EGF。
∴。∴GE²=GF•GB=GF（GF+BF）。
∵GE=1，BF=，∴GF=。
在Rt△EGF中，。

試題分析：（1）連接OD，易得OD為△ABC的中位線，則OD∥BC，由于DE⊥BC，所以DE⊥DO，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論。
（2）由AB為半圓O的直徑得到∠AFB=90°，易證得△BGE∽△EGF，利用可計算出GF，然后在Rt△EGF中利用勾股定理可計算出EF。