Question

【題目】如圖1，平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸的兩個交點分別為A（﹣3，0），B（1，0），與y軸的交點為D，對稱軸與拋物線交于點C，與x軸負半軸交于點H．

（1）求拋物線的表達式；

（2）點E，F分別是拋物線對稱軸CH上的兩個動點（點E在點F上方），且EF=1，求使四邊形BDEF的周長最小時的點E，F坐標及最小值；

（3）如圖2，點P為對稱軸左側，x軸上方的拋物線上的點，PQ⊥AC于點Q，是否存在這樣的點P使△PCQ與△ACH相似？若存在請求出點P的坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3（2）故四邊形BDEF的周長最小時，點E的坐標為（﹣1， ），點F坐標為（﹣1， ），四邊形BDEF周長的最小值是+1+；（3）點P的坐標為（﹣， ）

【解析】試題分析：（1）將點A（-3，0）、B（1，0）代入拋物線的解析式得到關于a、b的方程組即可；

（2）先求得C（-1，4）．將D點向下平移1個單位，得到點M，連結AM交對稱軸于F，作DE∥FM交對稱軸于E點，則四邊形BDEF周長的最小值=BD+EF+AM，然后求得直線AM的解析式，從而可求得點F的坐標，最后依據EF=1可得到點E的坐標；

（3）當△PCQ∽△ACH時，∠PCQ=∠ACH．過點A作CA的垂線交PC與點F，作FN⊥x軸與點N．則AF∥PQ，先證明△CPQ∽△CFA、△FNA∽△AHC，依據相似三角形的性質可求得AN=2，FN=1，則F（-5，1），然后再求得直線CF的解析式，將CF的解析式與拋物線的解析式聯立組成方程組可求得點P的坐標．

試題解析：

（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+3過點A（﹣3，0），B（1，0），

∴，解得 ，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3

（2）解：∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴頂點C（﹣1，4）．

將D點向下平移1個單位，得到點M，連結AM交對稱軸于F，作DE∥FM交對稱軸于E點，如圖1所示．

∵EF∥DM，DE∥FM，

∴四邊形EFMD是平行四邊形，

∴DE=FM，EF=DM=1，

DE+FB=FM+FA=AM．

由勾股定理，得AM= = = ，

BD== = ，

四邊形BDEF周長的最小值=BD+DE+EF+FB=BD+EF+（DE+FB）=BD+EF+AM= +1+ ；

設AM的解析式為y=mx+n，將A（﹣3，0），M（0，2）代入，解得m=，n=2，則AM的解析式為y= x+2，

當x=﹣1時，y=，即F（﹣1， ），

由EF=1，得E（﹣1， ）．

故四邊形BDEF的周長最小時，點E的坐標為（﹣1， ），點F坐標為（﹣1， ），四邊形BDEF周長的最小值是 +1+ ；

（3）解：點P在對稱軸左側，當△PCQ∽△ACH時，∠PCQ=∠ACH．

過點A作CA的垂線交PC與點F，作FN⊥x軸與點N．則AF∥PQ，

∴△CPQ∽△CFA，

∴= =2．

∵∠CAF=90°，

∴∠NAF+∠CAH=90°，∠NFA+∠NAF=90°，

∴∠BFA=∠CAH．

又∵∠FNA=∠AHC=90°，

∴△FNA∽△AHC，

∴== =，即 = =．

∴AN=2，FN=1．

∴F（﹣5，1）．

設直線CF的解析式為y=kx+b，將點C和點F的坐標代入得： ，解得：k= ，b= ．

∴直線CF的解析式為y= x+ ．

將y= x+ 與y=﹣x2﹣2x+3聯立得： ,

解得： 或 （舍去）．

∴P（﹣， ）．

∴滿足條件的點P的坐標為（﹣， ）．

點睛: 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求一次函數、二次函數的解析式、相似三角形的性質和判定、軸對稱的性質，找出四邊形BDEF周長取得最小值的條件是解題的關鍵．