Question

【題目】學完三角形的高后，小明對三角形與高線做了如下研究：如圖，是中邊上的-點，過點、分別作、、、，垂足分別為點、、，由與的面積之和等于的面積，有等量關系式：.像這種利用同一平面圖形的兩種面積計算途徑可以得出相關線段的數量關系式，從而用于解決數學問題的方法稱為“等積法”，下面請嘗試用這種方法解決下列問題.

圖(1) 圖(2)

(1)如圖(1)， 矩形中，，，點是上一點，過點作，，垂足分別為點、，求的值；

(2)如圖(2)，在中，角平分線、相交于點，過點分別作、，垂足分別為點、，若，，求四邊形的周長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）4

【解析】

（1）由矩形的性質可得∠ABC=90°，AO=CO，BO=DO，由“等積法”可求解；

（2）由“等積法”可求OM=ON=1，通過證明四邊形AMON是正方形，即可求解.

解：（1）如圖，連接，

則由矩形性質有：

又

∴

∴

解得：；

（2）連接，過點作，垂足為點，

又是的角平分線，、，垂足分別為點、，

，

在中，

設，則

解得：

四邊形是矩形

又

矩形是正方形

正方形的周長.