Question

如圖，在△DEF中，∠A=∠D=90°，AB=DE=3，AC=2DF=4
（1）判斷這兩個三角形是否相似？為什么？
（2）能否分別作一條輔助線將這兩個三角形分割，使△ABC分割成的三角形與△DEF分割成的兩個三角形分別對應相似？請設計分割方案，并給出說明．
（3）寫出所有符合（2）的對應相似的兩個三角形的相似比．

Answer 1

分析：（1）根據已知及相似三角形的判定方法進行分析即可；
（2）利用分割角使其相等得出三角形相似即可得出答案；
（3）利用（2）中相似三角形即可得出相似比．

解答：解：（1）不相似．
∵在Rt△BAC中，∠A=90°，AB=3，AC=4；
在Rt△EDF中，∠D=90°，DE=3，DF=2，
∵

AB

DF

=

3

2

，

AC

DE

=

4

3

，
∴

AB

DF

≠

AC

DE

，
∴Rt△BAC與Rt△DFE不相似．

（2）能作如圖所示的輔助線進行分割．
證明：作∠BAM=∠E，交BC于M；作∠NDE=∠B，交EF于N．
由作法和已知條件可知△BAM∽△DEN．
∵∠BAM=∠E，∠NDE=∠B，∠AMC=∠BAM+∠B，∠FND=∠E+∠NDE，
∴∠AMC=∠FND．
∵∠FDN=90°-∠NDE，∠C=90°-∠B，
∴∠FDN=∠C．
∴△AMC∽△FND．

（3）相似比分別為1與2．
證明：∵△BAM∽△DEN，
∴

BA

DE

=

3

3

=1，
∵△AMC∽△FND，
∴

AC

FD

=

4

2

=2．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定，熟練應用相似三角形的判定得出①有兩個對應角相等的三角形相似；②有兩個對應邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似；③三組對應邊的比相等，則兩個三角形相似是解決問題的關鍵．