Question

【題目】小麗剪了一些直角三角形紙片，她取出其中的幾張進行了如下的操作：

操作一：如圖，將Rt△ABC沿某條直線折疊，使斜邊的兩個端點A與B重合，折痕為DE.

（1）如果AC=6cm，BC=8cm，試求△ACD的周長.

（2）如果∠CAD：∠BAD=4：7，求∠B的度數.

操作二：如圖，小麗拿出另一張Rt△ABC紙片，將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，已知兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，你能求出CD的長嗎？

操作三：如圖，小麗又拿出另一張Rt△ABC紙片，將紙片折疊，折痕CD⊥AB。你能證明：BC2+AD2=AC2+BD2嗎？

Answer 1

【答案】操作一：（1）14cm；（2）∠B=35°；操作二：CD=3cm；操作三：見解析.

【解析】

操作一 利用對稱找準相等的量：BD=AD，∠BAD=∠B，然后分別利用周長及三角形的內角和可求得答案；
操作二 利用折疊找著AC=AE，利用勾股定理列式求出AB，設CD=x，表示出BD，AE，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得答案；
操作三 兩次運用勾股定理可答案．

解：操作一：
（1）由對稱性可得AD=BD，∵△ACD的周長=AC+CD+AD，
∴△ACD的周長=AC+CD+BD=AC+BC=8+6=14（cm）；
（2）設∠CAD=4x，∠BAD=7x由題意得方程：7x+7x+4x=90，
解之得x=5，
所以∠B=35°；
操作二：∵AC=6cm，BC=8cm，
∴AB==10cm，
根據折疊性質可得AC=AE=6cm，
∴BE=AB-AE=10-6=4，
設CD=x，則BD=8-x，DE=x，
在Rt△BDE中，由題意可得方程x2+4=（8-x）2，
解之得x=3，
∴CD=3cm；
操作三：
在Rt△BCD中，由勾股定理可得BC2=BD2+CD2
在Rt△ACD中，由勾股定理可得AD2+CD2=AC2
∴BC2+AD2=BD2+CD2+AD2=AC2+BD2