Question

【題目】如圖，一次函數y=﹣x+4的圖象與反比例函數y=（k為常數，且k≠0）的圖象交于A（1，a），B兩點．

（1）求反比例函數的表達式及點B的坐標；

（2）在x軸上找一點P，使PA+PB的值最小，求滿足條件的點P的坐標及△PAB的面積．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數的表達式y=，點B的坐標為（3，1）．（2）.

【解析】試題分析：（1）由點A在一次函數圖象上，結合一次函數解析式可求出點A的坐標，再由點A的坐標利用待定系數法即可求出反比例函數解析式，聯立兩函數解析式成方程組，解方程組即可求出點B坐標；

（2）作點B作關于x軸的對稱點D，交x軸于點C，連接AD，交x軸于點P，連接PB．由點B、D的對稱性結合點B的坐標找出點D的坐標，設直線AD的解析式為y=mx+n，結合點A、D的坐標利用待定系數法求出直線AD的解析式，令直線AD的解析式中y=0求出點P的坐標，再通過分割圖形結合三角形的面積公式即可得出結論．

試題解析：（1）把點A（1，a）代入一次函數y=-x+4，

得：a=-1+4，解得：a=3，

∴點A的坐標為（1，3）．

把點A（1，3）代入反比例函數y=，

得：3=k，

∴反比例函數的表達式y=，

聯立兩個函數關系式成方程組得： ，

解得： ，或，

∴點B的坐標為（3，1）．

（2）作點B作關于x軸的對稱點D，交x軸于點C，連接AD，交x軸于點P，此時PA+PB的值最小，連接PB，如圖所示．

∵點B、D關于x軸對稱，點B的坐標為（3，1），

∴點D的坐標為（3，- 1）．

設直線AD的解析式為y=mx+n，

把A，D兩點代入得： ，

解得： ，

∴直線AD的解析式為y=-2x+5．

令y=-2x+5中y=0，則-2x+5=0，

解得：x=，

∴點P的坐標為（，0）．

S△PAB=S△ABD-S△PBD=BD（xB-xA）-BD（xB-xP）

=×[1-（-1）]×（3-1）-×[1-（-1）]×（3-）

=．