Question

【題目】如圖①、②，在平面直角坐標系中，一邊長為2的等邊三角板CDE恰好與坐標系中的△OAB重合，現將三角板CDE繞邊AB的中點G（G點也是DE的中點），按順時針方向旋轉180°到△C′ED的位置．

（1）求C′點的坐標；

（2）求經過O、A、C′三點的拋物線的解析式；

（3）如圖③，⊙G是以AB為直徑的圓，過B點作⊙G的切線與x軸相交于點F，求切線BF的解析式；

（4）在（3）的條件下，拋物線上是否存在一點M，使得△BOF與△AOM相似？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) C′（3，）(2) y=x2﹣x (3) y=x+（4）存在

【解析】分析：（1）作C′H⊥x軸，如圖②，利用等邊三角形和旋轉的性質得到AC′=OA=2，∠OAB=∠BAC′=60°，則∠C′AH=60°，然后根據含30度的直角三角形三邊的關系計算出AH=1，C′H=，從而得到C′點的坐標；

（2）設拋物線解析式為y=ax（x﹣2），然后把C′點坐標代入求出a即可

（3）利用切線的性質得AB⊥BF，則利用∠FAB=60°得到FA=2AB=4，所以F（﹣2，0），再判斷四邊形AOBC′為菱形，則可寫出B（1，），然后利用待定系數法求直線BF的解析式；

（4）先拋物線的對稱軸為直線x=1，拋物線的頂點坐標為（1，﹣），再判斷△OBF為頂角為120°的等腰三角形，討論：當AM=AO=2時，點M與點C′重合，△BOF與△AOM相似，易得此時M點的坐標；當OM=OA時，點M與點C′關于直線x=1對稱，△BOF與△AOM相似，易得此時M點坐標；當MA=MO時，點M為拋物線的頂點時，∠OAM=120°，可判斷△BOF與△AOM相似，從而得到此時M點的坐標．

詳解：（1）作C′H⊥x軸，如圖②．

∵△CDE和△OAB為全等的等邊三角形，而三角板CDE繞邊AB的中點G（G點也是DE的中點），按順時針方向旋轉180°得到△C′ED，∴AC′=OA=2，∠OAB=∠BAC′=60°，∴∠C′AH=60°，∴AH=AC′=1，C′H=AH=，∴C′（3，）；

（2）設拋物線解析式為y=ax（x﹣2），把C′（3，）代入得：a31=，解得：a=，∴拋物線解析式為y=x（x﹣2），即y=x2﹣x；

（3）∵BF為⊙G的切線，∴AB⊥BF，而∠FAB=60°，∴FA=2AB=4，∴F（﹣2，0）．

∵OB=OA=AC′=BC′=2，∴四邊形AOBC′為菱形，∴B（1，），設直線BF的解析式為y=kx+b，把F（﹣2，0），B（1，）代入得：，解得：，∴直線BF的解析式為y=x+；

（4）存在．

拋物線的對稱軸為直線x=1，當x=1時，y=x2﹣x=﹣，則拋物線的頂點坐標為（1，﹣）．

∵OF=OB=2，∴△OBF為頂角為120°的等腰三角形，當AM=AO=2時，點M與點C′重合，△BOF與△AOM相似，此時M（3，），當OM=OA時，點M與點C′關于直線x=1對稱，△BOF與△AOM相似，此時M（﹣1，），當MA=MO時，點M為拋物線的頂點時，∠OAM=120°，△BOF與△AOM相似，此時M（1，﹣）．

綜上所述：滿足條件的M點的坐標為（3，）或（﹣1，）或（1，﹣）．