Question

如圖1，正方形ABCD和正方形QMNP，M是正方形ABCD的對稱中心，MN交AB于F，QM交AD于E．
（1）猜想：ME與MF的數量關系；
（2）如圖2，若將原題中的“正方形”改為“菱形”，且∠M=∠B，其它條件不變，探索線段ME與線段MF的數量關系，并加以證明；
（3）如圖3，若將原題中的“正方形”改為“矩形”，且AB：BC=1：2，其它條件不變，探索線段ME與線段MF的數量關系，并說明理由；
（4）如圖4，若將原題中的“正方形”改為平行四邊形，且∠M=∠B，AB：BC=m，其它條件不變，求出ME：MF的值．（直接寫出答案）

Answer 1

分析：本題是變式拓展題，正方形，菱形的共同特點是：其對稱中心到各邊的距離相等，可考慮作兩邊的垂線，構造全等三角形，再對應三角形全等條件求解．而矩形的對稱中心到兩邊距離之比等于其邊長之比，方法類似，用相似三角形來解．

解答：解：（1）ME=MF．

（2）ME=MF．
證明：過點M作MH⊥AD于H，MG⊥AB于G，連接AM．

∵M是菱形ABCD的對稱中心，
∴O是菱形ABCD對角線的交點，
∴AM平分∠BAD，
∴MH=MG．
∵∠M=∠B
，∴∠M+∠BAD=180°．
又∠MHA=∠MGF=90°，
∴∠HMG+∠BAD=180°．
∴∠EMF=∠HMG．
∴∠EMH=∠FMG．
∵∠MHE=∠MGF，
∴△MHE≌△MGF，
∴ME=MF．
（3）ME：MF=1：2
證明：過點M作MH⊥AD于H，MG⊥AB于G．

∵∠M=∠B，∴∠A=∠EMF=90°．
又∵∠MHA=∠MGA=90°，
∴∠HMG=90°．
∴∠EMF=∠HMG，∴∠EMH=∠FMG．
∵∠MHE=∠MGF，
∴△MHE∽△MGF，
∴

ME

MF

=

MH

MG

．
又∵M是矩形ABCD的對稱中心，
∴M是矩形ABCD對角線的中點．
又∵MG⊥AB，
∴MG∥BC，
∴MG=

1

2

BC．
同理可得MH=

1

2

AB．
∴ME：MF=1：2．

（4）ME：MF=m．

點評：本題綜合考查全等三角形、相似三角形和四邊形的有關知識．注意對三角形全等，相似的綜合應用．