Question

【題目】在△ABC中，AB＝AC，點P為△ABC所在平面內一點過點P分別作PE∥AC交AB于點E，PF∥AB交BC于點D，交AC于點F．

（1）觀察猜想

如圖1，當點P在BC邊上時，此時點P、D重合，試猜想PD，PE，PF與AB的數量關系：　 　．

（2）類比探究

如圖2，當點P在△ABC內時，過點P作MN∥BC交AB于點M，交AC于點N，試寫出PD，PE，PF與AB的數量關系，并加以證明．

（3）解決問題

如圖3，當點P在△ABC外時，若AB＝6，PD＝1，請直接寫出平行四邊形PEAF的周長　 　．

Answer 1

【答案】（1）PD+PE+PF＝AB；（2）PD+PE+PF＝AB，見解析；（3）14

【解析】

（1）由PE∥AC，PF∥AB可判斷四邊形AEPF為平行四邊形，根據平行線的性質得∠1＝∠C，根據平行四邊形的性質得PF＝AE，再根據等腰三角形的性質得∠B＝∠C，則∠B＝∠1，則可根據等腰三角形的判定得PE＝BE，所以PE+PF＝AB；

（2）因為四邊形PEAF為平行四邊形，所以PE＝AF，又三角形FDC為等腰三角形，所以FD＝PF+PD＝FC，即PE+PD+PF＝AC＝AB；

（3）過點P作MN∥BC分別交AB、AC于M、N兩點，推出PE+PF＝AM，再推出MB＝PD即可得到結論．

解：（1）答：PD+PE+PF＝AB．

證明如下：∵點P在BC上，

∴PD＝0，

∵PE∥AC，PF∥AB，

∴四邊形PFAE是平行四邊形，

∴PF＝AE，

∵PE∥AC，

∴∠BPE＝∠C，

∴∠B＝∠BPE，

∴PE＝BE，

∴PE+PF＝BE+AE＝AB，

∵PD＝0，

∴PD+PE+PF＝AB，

故答案為：PD+PE+PF＝AB；

（2）如圖2，結論成立：PD+PE+PF＝AB．

證明：過點P作MN∥BC分別交AB，AC于M，N兩點，

∵PE∥AC，PF∥AB，

∴四邊形AEPF是平行四邊形，

∵MN∥BC，PF∥AB，

∴四邊形BDPM是平行四邊形，

∴AE＝PF，∠EPM＝∠ANM＝∠C，

∵AB＝AC，

∴∠EMP＝∠B，

∴∠EMP＝∠EPM，

∴PE＝EM，

∴PE+PF＝AE+EM＝AM．

∵四邊形BDPM是平行四邊形，

∴MB＝PD．

∴PD+PE+PF＝MB+AM＝AB，

即PD+PE+PF＝AB；

（3）如圖3，過點P作MN∥BC分別交AB、AC延長線于M、N兩點．

∵PE∥AC，PF∥AB，

∴四邊形PEAF是平行四邊形，

∴PF＝AE，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵MN∥BC，

∴∠ANM＝∠C＝∠B＝∠AMN，

∵PE∥AC，

∴∠EPM＝∠FNP，

∴∠AMN＝∠FPN，

∴∠EPM＝∠EMP，

∴PE＝ME，

∵AE+ME＝AM，

∴PE+PF＝AM，

∵MN∥CB，DF∥AB，

∴四邊形BDPM是平行四邊形，

∴MB＝PD，

∴PE+PF﹣PD＝AM﹣MB＝AB，

∴PE+PF＝AB+PD＝6+1＝7，

∴平行四邊形PEAF的周長＝14，

故答案為：14．