【題目】在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD與高BE的交點．
（1）求證：△ADC≌△BDF．
（2）連接CF，若CD＝4，求CF的長．
【答案】（1）見解析；（2）4
【解析】
（1）先證明AD＝BD，再證明∠FBD＝∠DAC，從而利用ASA證明△BDF≌△ADC；
（2）利用全等三角形對應邊相等得出DF＝CD＝4，根據勾股定理求出CF即可．
（1）證明：∵AD⊥BC，
∴∠FDB＝∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝45°＝∠ABD，
∴AD＝BD，
∵BE⊥AC，
∴∠AEF＝∠FDB＝90°，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴由三角形內角和定理得：∠CAD＝∠FBD，
在△ADC和△BDE中
∴△ADC≌△BDE（ASA）；
（2）解：∵△ADC≌△BDE，CD＝4，
∴DF＝CD＝4，
在Rt△FDC中，由勾股定理得：CF＝
＝
＝4．
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【題目】（滿分8分）我們把依次連接任意四邊形各邊中點得到的四邊形叫做中點四邊形．
如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，依次連接各邊中點得到中點四邊形EFGH．
(1)這個中點四邊形EFGH的形狀是____________；
(2)證明你的結論．
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【題目】如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，點E為CD的中點，射線BE交AD的延長線于點F，連接CF．
（1）求證：四邊形BCFD是菱形；
（2）若AD=1，BC=2，求BF的長．
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【題目】如圖，已知在△ABC中，AB=AC=5，cosB=
，P是邊AB上一點，以P為圓心，PB為半徑的⊙P與邊BC的另一個交點為D，聯結PD、AD．
（1）求△ABC的面積；
（2）設PB=x，△APD的面積為y，求y關于x的函數關系式，并寫出定義域；
（3）如果△APD是直角三角形，求PB的長．
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【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知
是等邊三角形，點
的坐標是
，點
在第一象限，
的平分線交
軸于點
，把
繞著點按逆時針方向旋轉，使邊
與
重合，得到
，連接
．求：的長及點
的坐標．
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【題目】如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上任意一點，E在AC邊上，且AD＝AE．
（1）若∠BAD＝40°，求∠EDC的度數；
（2）若∠EDC＝15°，求∠BAD的度數；
（3）根據上述兩小題的答案，試探索∠EDC與∠BAD的關系．
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【題目】如圖，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，點D是BC邊上的一個動點（不與B、C重合），在AC上取一點E，使∠ADE=30°．
（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）設BD=x，AE=y，求y關于x的函數關系式并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當△ADE是等腰三角形時，求AE的長．
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【題目】如圖，圖①由4根火柴棍圍成；圖②由12根火柴棍圍成；圖③由24根火柴棍圍成；…按此規律，則第⑥個圖形由（ ）根火柴棍圍成.
A. 60 B. 72 C. 84 D. 112
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【題目】如圖，已知⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓，過點A作⊙O的切線交OC的延長線于點D，交BC的延長線于點E．
（1）求證：∠DAC=∠DCE；
（2）若AB=2，sin∠D=
，求AE的長．
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