Question

【題目】如圖，直線()交軸于點，交軸于點.

(1)求點的坐標(用含的代數式表示)

(2)若點是直線上的任意一點，且點與點距離的最小值為4，求該直線表達式；

(3)在(2)的基礎上，若點在第一象限，且為等腰直角三角形，求點的坐標.

Answer 1

【答案】(1)點的坐標分別是；(2) y=-x+2；(3)當點的坐標是或或時，是等腰直角三角形.

【解析】

（1）利用坐標軸上點的特點即可得出結論；
（2）利用直角三角形的面積相等建立方程求出b=2，即可得出結論；
（3）①當∠ACB=90°時，先判斷出四邊形ODCE是矩形，得出OD=CE，CD=OE，∠DCE=90°，再判斷出△BCE≌△ACD（AAS），得出BE=AD，CE=CD，進而得出AD=4-m，BE=m-2，進而用AD=BE建立方程求解即可得出結論；②③當∠BAC=90°和∠ABC=90°時，構造全等三角形即可得出結論．

(1)當時，；

當時，，解得.

∴點的坐標分別是

(2)如圖，

當時，點與點的距離最小，此時，

∵點的坐標是，點的坐標是，，

∴，.

在中，

∵

∴

∴，

∴直線AB的解析式為y=-x+2；

（3）如圖，

由（1）知，A（4，0），B（0，2），
∴OA=4，OB=2
過點C作CD⊥x軸于D，作CE⊥y軸于E，
∵∠DOE=90°，
∴四邊形ODCE是矩形，
∴OD=CE，CD=OE，∠DCE=90°，
∴∠BCE+∠BCD=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
當∠ACB=90°時，
∴BC=AC，∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠BCE=∠ACE，
∴△BCE≌△ACD（AAS），
∴BE=AD，CE=CD，
∴設點C坐標為（m，m），
∴AD=OA-OD=4-m，BE=OE-OB=m-2，
∴4-m=m-2，
∴m=3，
∴C（3，3），
如圖2，

②當∠BAC=90°時，過點C'作C'F⊥x軸于F，
∴∠C'AF+∠AC'F=90°，
∵∠C'AF+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠FC'A，
∵AB=AC'，
∴△AOB≌△C'FA（AAS），
∴C'F=OA=4，AF=OB=2，
∴OF=OA+AF=6，
∴C'（6，4），
③當∠ABC=90°時，同②的方法得，C（2，6），
即：點C的坐標為（3，3）或（6，4）或（2，6）．