Question

【題目】如圖①，在正方形ABCD中，點P是對角線BD上的一點，點E在AD的延長線上，且PC=PE，PE交CD于點F．

(1)求證：∠PCD=∠PED；

(2)連接EC，求證：EC=AP；

(3)如圖②，把正方形ABCD改成菱形ABCD，其他條件不變，當∠DAB=60°時，請直接寫出線段EC和AP的數量關系______．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）AP=CE．

【解析】

（1）根據正方形性質知道PC=PA，又由PE=PC知道PA=PE即可得出結論．

（2）證明△PEC為等腰直角三角形，即可得出結論．

（3）根據（2）的思路和方法即可求出結論AP=CE．

（1）證明：在正方形ABCD中，AD=DC，

∠ADP=∠CDP=45°，

在△ADP和△CDP中，AD=DC；∠ADP=∠CDP；PD=PD，

∴△ADP≌△CDP（SAS），

∴∠DAP=∠DCP，PA=PC；

∵PC=PE，

∴PA=PE,

∴∠DAP=∠DEP，

∴∠DCP=∠DAP=∠DEP．

（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，

∴∠BAP=∠BCP，

∴∠DAP=∠DCP，

∵PA=PE，

∴∠DAP=∠E，

∵∠CFP=∠EFD（對頂角相等），

∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E，

即∠CPF=∠EDF=90°；

∴△CPE是等腰直角三角形，

∴EC=CP，

又∵AP=CP，

∴EC=AP．

（3）AP=CE；理由如下：

在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，

在△ABP和△CBP中，AB=BC；∠ABP=∠CBP；PB=PB，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，

∵PA=PE，

∴PC=PE，

∴∠DAP=∠DCP，

∵PA=PC，

∴∠DAP=∠AEP，

∴∠DCP=∠AEP，

∵∠CFP=∠EFD（對頂角相等），

∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠AEP，

即∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=180°-120°=60°，

∴△EPC是等邊三角形，

∴PC=CE，

∴AP=CE．