Question

【題目】九二班計劃購買A、B兩種相冊共42冊作為畢業禮品，已知A種相冊的單價比B種的多10元，買4冊A種相冊與買5冊B種相冊的費用相同．

（1）求A、B兩種相冊的單價分別是多少元？

（2）由于學生對兩類相冊喜好不同，經調查得知：購買的A種相冊的數量要少于B種相冊數量的，但又不少于B種相冊數量的，如果設買A種相冊x冊．

①有多少種不同的購買方案？

②商店為了促銷，決定對A種相冊每冊讓利a元銷售（12≤a≤18），B種相冊每冊讓利b元銷售，最后班委會同學在付款時發現：購買所需的總費用與購買的方案無關，當總費用最少時，求此時a的值．

Answer 1

【答案】（1）A種相冊的單價為50元，B種相冊的單價為40元；（2）①x可取12、13、14、15、16、17，共6種不同的購買方案；②18．

【解析】

(1)設A種相冊的單價為m元，B種相冊的單價為n元，根據“A種相冊的單價比B種的多10元，買4冊A種相冊與買5冊B種相冊的費用相同”，即可得出關于m，n的二元一次方程組，解之即可得出結論；

(2)①根據“購買的A種相冊的數量要少于B種相冊數量的 ，但又不少于B種相冊數量的 ”，即可得出關于x的一元一次不等式組，解之即可得出x的取值范圍，再結合x為正整數即可得出x的可能值，進而可得出購買方案的種數；

②設購買總費用為w元，根據總價＝單價×數量，即可得出w關于x的函數關系式，由購買所需的總費用與購買的方案無關可得出b＝a﹣10，進而可得出w關于a的函數關系式，再利用一次函數的性質，即可解決最值問題．

解：（1）設A種相冊的單價為m元，B種相冊的單價為n元，

依題意，得： ，

解得： ．

答：A種相冊的單價為50元，B種相冊的單價為40元．

（2）①根據購買的A種相冊的數量要少于B種相冊數量的，但又不少于B種相冊數量的得：

，

解得：12≤x＜18．

又∵x為正整數，

∴x可取12、13、14、15、16、17，共6種不同的購買方案．

②設購買總費用為w元，

依題意得：w＝(50﹣a）x+(40﹣b)(42﹣x)＝(10﹣a+b)x+42(40﹣b)．

∵購買所需的總費用與購買的方案無關，則w的值與x無關，

∴10﹣a+b＝0，

∴b＝a﹣10，

∴w＝42(40-b)＝42[40-(a-10)]＝﹣42a+2100．

∵﹣42＜0，

∴w隨a的增大而減�。�

又∵12≤a≤18，

∴當a＝18時，w取得最小值．

答：當總費用最少時，a的值為18．