Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，

（1）求拋物線的解析式；

（2）閱讀理解：在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線（、為常數(shù)，且），直線（、為常數(shù)，且），若，則．

解決問題：①若直線與直線互相垂直，求的值；

②在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得△PAB是以為直角邊的直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在直線的上方（不與、重合），求點(diǎn)到直線 距離的最大值．

Answer 1

【答案】(1) y=-x2+x+1；(2)① -；②存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)（6，-14）或（4，-5）；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）①利用垂線間的關(guān)系，即可求出m的值；

②分兩種情況：當(dāng)PA⊥AB時(shí)；當(dāng)PB⊥AB時(shí)。根據(jù)垂線間的關(guān)系，可得PA，PB的解析式，根據(jù)解方程組，可得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）作MQ⊥x軸交AB于Q。設(shè)M的橫坐標(biāo)為t，根據(jù)垂直于x軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，用t表示出MQ，于是可表示出三角形ABM的面積，是一個(gè)二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得面積的最大值，根據(jù)三角形的底一定時(shí)面積與高成正比，可得三角形高的最大值．

解：（1）將A，B點(diǎn)坐標(biāo)代入，得

，

解得，

所以拋物線的解析式為；

（2）①由直線y=2x-1與直線y=mx+2互相垂直，得

2m=-1，

即；

故答案為：；

②AB的解析式為，

當(dāng)PA⊥AB時(shí)，PA的解析式為y=-2x-2，

聯(lián)立PA與拋物線，得，

解得（舍），，

即P（6，-14）；

當(dāng)PB⊥AB時(shí)，PB的解析式為y=-2x+3，

聯(lián)立PB與拋物線，得，

解得（舍去），，

即P（4，-5），

綜上所述：△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，-14）（4，-5）；

（3）如圖：作MQ⊥x軸交AB于Q。

，

，

S△MAB=MQ|xB-xA|

=，

當(dāng)t=0時(shí)，S取最大值，即M（0，1）．

由勾股定理，得

，

設(shè)M到AB的距離為h，由三角形的面積，得

點(diǎn)M到直線AB的距離的最大值是．