Question

如圖，在某海域內有三個港口A、D、C．港口C在港口A北偏東60°方向上，港口D在港口A北偏西60°方向上．一艘船以每小時25海里的速度沿北偏東30°的方向駛離A港口3小時后到達B點位置處，測得港口C在B處的南偏東75°方向上，此時發現船艙漏水，應立即向最近的港口停靠．
（1）試判斷此時哪個港口離B處最近，說明理由，并求出最近距離．
（2）若海水以每小時48噸的速度滲入船內，當船艙滲入的海水總量超過75噸時，船將沉入海中．若船上的抽水機每小時可將8噸的海水排出船外，問此船在B處至少應以怎樣的航行速度駛向最近的港口停靠，才能保證船在抵達港口前不會沉沒（要求計算結果保留根號）？

Answer 1

分析：（1）作輔助線連接AC、AD、BC、BD，過B作BP⊥AC于點P，將實際問題轉化為幾何問題，分別求得BA、BC、BD的長，比較得出最近的港口．
（2）根據題意“（每小時滲入船內的海水總量-每小時排出的海水總量）×船航行的時間≤75”列出不等關系式，然后再解不等式即可求得結果．

解答：解：（1）連接AC、AD、BC、BD，過B作BP⊥AC于點P．
由已知得∠BAD=90°，∠BAC=30°，AB=3×25=75（海里），
從而BP=

1

2

×75=37.5（海里）．
∵港口C在B處的南偏東75°方向上，
∴∠CBP=45°．在等腰Rt△CBP中，BC=

2

BP=

75 2

2

（海里），
∴BC＜AB．
∵△BAD是Rt△，
∴BD＞AB．
綜上，可得港口C離B點位置最近，為

75 2

2

海里．

（2）設由B駛向港口C船的速度為每小時x海里，
則據題意有

37.5 2

x

(48-8)≤75，
解不等式，得x≥20

2

（海里）．
答：此船應以速度至少不低于每小時20

2

海里，才能保證船在抵達港口前不會沉沒．

點評：本題考查了解直角三角形的應用即方向角問題，根據題意準確畫出示意圖是解這類題的前提和保障．可通過作輔助線構造直角三角形，再把條件和問題轉化到直角三角形中，使問題解決．