Question

觀察下列關于自然數的等式：
3²﹣4×1²=5   ①
5²﹣4×2²=9   ②
7²﹣4×3²=13  ③
…
根據上述規律解決下列問題：
（1）完成第四個等式：9²﹣4×　_________　²=　_________　；
（2）寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并驗證其正確性．

Answer 1

4²，17；
（2）（2n+1）²﹣4n²=2（2n+1）﹣1．

解析試題分析：由①②③三個等式可得，被減數是從3開始連續奇數的平方，減數是從1開始連續自然數的平方的4倍，計算的結果是被減數的底數的2倍減1，由此規律得出答案即可．
試題解析：（1）3²﹣4×1²=5   ①
5²﹣4×2²=9   ②
7²﹣4×3²=13  ③
…
所以第四個等式：9²﹣4×4²=17；
（2）第n個等式為：（2n+1）²﹣4n²=2（2n+1）﹣1，
左邊=（2n+1）²﹣4n²=4n²+4n+1﹣4n²=4n+1，
右邊=2（2n+1）﹣1=4n+2﹣1=4n+1．
左邊=右邊
∴（2n+1）²﹣4n²=2（2n+1）﹣1．
考點：1.數字的變化規律2.完全平方公式．