Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，點E，F分別在BC，AC上，且BE=CF，連結AE與BF相交于點G．將△ABC沿AB邊折疊得到△ABD，連結DG．延長EA到點H，使得AH=BG，連結DH．

（1）求證：四邊形DBCA是菱形．
（2）若菱形DBCA的面積為8 ， ，求△DGH的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=BC由折疊知AC=AD，BC=BD，

∴AC=AD=BC=BD，

∴四邊形DBCA是菱形

（2）解：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，

在△ABE與△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴∠AEB=∠BFC，

∵四邊形DBCA是菱形，

∴DA∥BC，DB∥AC，∠BDA=∠C=60°，

∴∠HAD=∠AEB，∠DBG=∠BFC，

∴∠HAD=∠DBG，

在△DBG與△DAH中，

，

∴△DBG≌△DAH（SAS），

∴DG=DH，∠BDG=∠ADH，

∴∠HDG=∠ADH+∠GDA=∠BDG+∠GDA=∠BDA=60°，

又∵DA=DB，DG=DH，

∴△DBA∽△DGH，

∴ ，

∵S△DBA= S菱形DBCA= ，

∴S△DGH=

【解析】（1）由△ABC是等邊三角形和軸對稱易得四邊相等，證得四邊形DBCA是菱形。
（2）由（1）中菱形DBCA易得△ABE≌△BCF從而利用等邊三角形等量代換可得∠HAD=∠DBG，為證明△DBG≌△DAH做好條件，得到∠BDG=∠ADH最終可得△DBA∽△DGH；再利用相似三角形的面積比等于相似比的平方可得S△DGH。
【考點精析】根據題目的已知條件，利用菱形的性質和菱形的判定方法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形．