Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，且AD=1，AB=2，tan∠DCB=2，對角線AC和BD相交于點O．在等腰直角三角形紙片EBF中，∠EBF=90°，EB=FB．把梯形ABCD固定不動，將三角形紙片EBF繞點B旋轉．
（1）如圖1，當三角形紙片EBF繞點B旋轉到使一邊BF與梯形ABCD的邊BC在同一條直線上時，線段AF與CE的位置關系是______，數量關系是______；
（2）將圖1中的三角形紙片EBF繞點B逆時針繼續旋轉，旋轉角為α（0°＜α＜90°），請你在圖2 中畫出圖形，并判斷（1）中的兩個結論是否發生變化，寫出你的猜想并加以證明；
（3）將圖1中的三角形紙片EBF繞點B逆時針旋轉到一邊BF恰好落在線段BO上時，三角形紙片EBF的另一邊EF與BC交于點M，請你在圖3中畫出圖形．
①判斷（1）中的兩個結論是否發生變化，直接寫出你的猜想，不必證明；
②若OF=，求BM的長． 

Answer 1

【答案】分析：（1）根據條件證明△ABF≌△CBE，可得AF=CE，再利用對應角相等，互余關系證明AF⊥CE；
（2）（1）中的兩個結論沒有發生變化，利用同樣的方法證明△ABF≌△CBE，從而可得AF=CE，利用角的相等關系，互余關系可證AF⊥CE；
（3）根據AD∥BC，可證△AOD∽△COB，在Rt△DAB中，由勾股定理求BD，利用相似比求BO，已知OF=，由BF=BO-OF求BF，根據△BEF為等腰直角三角形，得BE=BF，∠3=∠OAB=45°，利用互余關系證明∠1=∠2，從而可證△BME∽△BOA，利用相似比求BM．
解答：解：（1）垂直，相等；

（2）猜想：（1）中的兩個結論沒有發生變化．
證明：如圖2，過D作DG⊥BC于G．
∵∠ABC=90°，
∴DG∥AB．
∵AD∥BC，
∴四邊形ABGD為矩形．
∴AB=DG=2，AD=BG=1．
∵tan∠DCB==2，
∴CG===1．
∴CB=AB=2．
∵∠ABC=∠EBF=90°，
∴∠ABC+∠ABE=∠EBF+∠ABE．
∴∠CBE=∠ABF．
在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE．
∴AF=CE，∠2=∠1．
∵∠1+∠3=90°，∠3=∠4，
∴∠2+∠4=90°．
∴∠5=90°．
AF⊥CE；

（3）①猜想：（1）中的兩個結論沒有發生變化．
②如圖，∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB．
∴=．
∵AD=1，BC=2，
∴=．
在Rt△DAB中，BD===．
∴OB=2OD=BD=．
∵OF=，
∴BF=BE=．
∵∠1+∠FBM=90°，∠2+∠FBM=90°，
∴∠1=∠2．
又∵∠3=∠OAB=45°，
∴△BME∽△BOA．
∴=，
∴=，
∴BM=．
點評：本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形、相似三角形的判定與性質．關鍵是運用旋轉前后，圖形的對應邊相等，對應角相等的性質解題．