Question

【題目】在中，以線段為邊作，使得，連接，再以為邊作，使得，．

（）如圖1，連結，求證：．

（）如圖2，時，將線段沿著射線的方向平移，得到線段，連接，．

①若，依題意補全圖2，求線段的長．

②請直接寫出線段的長（用含的式子表示）．

Answer 1

【答案】（）證明見解析；（）①，②

【解析】

（1）欲證明AE=BC，只要證明△ADE≌△BDC即可；

（2）①連接AE，BC于O，由△ADE≌△BDC．推出AE=BC=4，推出∠AED=∠DCB，推出四邊形BFEC為平行四邊形．推出AE=EF=4，∠AEF=90°，Rt△AEF中，根據AF=，計算即可；

②作EM⊥AF于M，設AE交BC于O，DE交BC于K．由①可知△ADE≌△BDC，四邊形BCEF是平行四邊形，推出∠DCK=∠KEO，由∠DKC=∠EKO，推出∠EOK=∠CDK=α，由BC∥EF，推出∠AEF=∠EOK=α，在Rt△EFM中，FM=EFsin，可得AF=2FM=8sin．

（）∵，

∴，

則，

在和中，

，

∴≌

∴．

（）①連接，設交于，

由（）≌，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵且，

∴，

在中，，

∴，

②連，設交于，過作于，

由（）得：≌，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

在中，，

∴，

∵且，

∴，

∴．