Question

【題目】如圖，在中，，，，點在線段上，．點從點出發，沿方向運動，以為直徑作，當運動到點時停止運動，設．

（1）___________，___________．（用的代數式表示）

（2）當為何值時，與的一邊相切？

（3）在點整個運動過程中，過點作的切線交折線于點，將線段繞點順時針旋轉得到，過作于．

①當線段長度達到最大時，求的值；

②直接寫出點所經過的路徑長是________．（結果保留根號）

Answer 1

【答案】（1），；（2）或；（3）①；②

【解析】

（1）觀察圖中和的數量關系可得，而，將代入即可.

（2）與的一邊相切有兩種情況，先與相切，再與相切；兩種情況的解答方法都是連接圓心與切點，構造直角三角形，根據條件所給的特殊角的三角函數解答.

（3）①根據旋轉的性質可得，在中根據三角函數可得，故當點與點重合，取得最大值時，有最大值，解之即可.

②明顯以點與點重合前后為節點，點的運動軌跡分兩部分，第一部分為從開始運動到點與點重合，即圖中的，根據求解；第二部分，根據為定值可知其軌跡為圖中的，在中用勾股定理求解即可.

（1），

（2）情況1：與相切時，

中，∵

∴

∴解得

情況2：與相切時，

中，∵

∴即

解得

（3）①

在中，∵，，

∴，

∴當最大時即最大

當點與點重合時，的值最大．

易知此時．

在中，∵∴

∴

（3）軌跡如圖：從到到

,

，

故，

到軌跡是線段理由如下：

∵，，∴．

∴為定值，

∴點的第二段的軌跡是線段．

在中，,

所以點所經過的路徑長是.