Question

【題目】如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，直線MN交BC于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N．

（1）求證：CM=CN；

（2）若△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，求的值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析;(2)

【解析】

（1）由折疊的性質(zhì)可得：∠ANM=∠CNM，由四邊形ABCD是矩形，可得∠ANM=∠CMN，則可證得∠CMN=∠CNM，繼而可得CM=CN．

（2）首先過點(diǎn)N作NH⊥BC于點(diǎn)H，由△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，易得MC=3ND=3HC，然后設(shè)DN=x，由勾股定理，可求得MN的長(zhǎng)，繼而求得答案．

解：（1）證明：由折疊的性質(zhì)可得：∠ANM=∠CNM，

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠ANM=∠CMN．

∴∠CMN=∠CNM．∴CM=CN．

（2）過點(diǎn)N作NH⊥BC于點(diǎn)H，則四邊形NHCD是矩形．

∴HC=DN，NH=DC．

∵△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，

∴．

∴MC=3ND=3HC．∴MH=2HC．

設(shè)DN=x，則HC=x，MH=2x，∴CM=3x=CN．

在Rt△CDN中，，

∴HN=．

在Rt△MNH中，，

∴．