Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，BC=10cm，AD=8cm．點P從點B出發，在線段BC上以每秒3cm的速度向點C勻速運動，與此同時，垂直于AD的直線m從底邊BC出發，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB、AC、AD于E、F、H，當點P到達點C時，點P與直線m同時停止運動，設運動時間為t秒（t＞0）．

（1）當t=2時，連接DE、DF，求證：四邊形AEDF為菱形；
（2）在整個運動過程中，所形成的△PEF的面積存在最大值，當△PEF的面積最大時，求線段BP的長；
（3）是否存在某一時刻t，使△PEF為直角三角形？若存在，請求出此時刻t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：當t=2時，DH=AH=4，則H為AD的中點，如答圖1所示．

又∵EF⊥AD，

∴EF為AD的垂直平分線，

∴AE=DE，AF=DF．

∵AB=AC，AD⊥BC于點D，

∴AD⊥BC，∠B=∠C．

∴EF∥BC，

∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，

∴∠AEF=∠AFE，

∴AE=AF，

∴AE=AF=DE=DF，即四邊形AEDF為菱形．

（2）

解：如答圖2所示，

由（1）知EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴ ，即 ，解得：EF=10﹣ t．

S△PEF= EFDH= （10﹣ t）2t=﹣ t2+10t=﹣ （t﹣2）2+10（0＜t＜ ），

∴當t=2秒時，S△PEF存在最大值，最大值為10cm2，此時BP=3t=6cm

（3）

解：存在．理由如下：

①若點E為直角頂點，如答圖3①所示，

此時PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．

∵PE∥AD，∴ ，即 ，此比例式不成立，故此種情形不存在；

②若點F為直角頂點，如答圖3②所示，

此時PF∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．

∵PF∥AD，∴ ，即 ，解得t= ；

③若點P為直角頂點，如答圖3③所示．

過點E作EM⊥BC于點M，過點F作FN⊥BC于點N，則EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．

∵EM∥AD，∴ ，即 ，解得BM= t，

∴PM=BP﹣BM=3t﹣ t= t．

在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（ t）2= t2．

∵FN∥AD，∴ ，即 ，解得CN= t，

∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣ t=10﹣ t．

在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10﹣ t）2= t2﹣85t+100．

在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，

即：（10﹣ t）2=（ t2）+（ t2﹣85t+100）

化簡得： t2﹣35t=0，

解得：t= 或t=0（舍去）

∴t= ．

綜上所述，當t= 秒或t= 秒時，△PEF為直角三角形

【解析】（1）如答圖1所示，利用菱形的定義證明；（2）如答圖2所示，首先求出△PEF的面積的表達式，然后利用二次函數的性質求解；（3）如答圖3所示，分三種情形，需要分類討論，分別求解．