Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，⊙M過原點O，與x軸交于A（4，0），與y軸交于B（0，3），點C為劣弧AO的中點，連接AC并延長到D，使DC=4CA，連接BD．
（1）求⊙M的半徑；
（2）證明：BD為⊙M的切線；
（3）在直線MC上找一點P，使|DP﹣AP|最大．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵由題意可得出：OA2+OB2=AB2，AO=4，BO=3，

∴AB=5，

∴圓的半徑為

（2）證明：由題意可得出：M（2， ）

又∵C為劣弧AO的中點，由垂徑定理且 MC= ，故 C（2，﹣1）

過 D 作 DH⊥x 軸于 H，設(shè) MC 與 x 軸交于 K，

則△ACK∽△ADH，

又∵DC=4AC，

故 DH=5KC=5，HA=5KA=10，

∴D（﹣6，﹣5）

設(shè)直線AB表達式為：y=kx+b，

，

解得：

故直線AB表達式為：y=﹣ x+3，

同理可得：根據(jù)B，D兩點求出BD的表達式為y= x+3，

∵kAB×kBD=﹣1，

∴BD⊥AB，BD為⊙M的切線

（3）解：取點A關(guān)于直線MC的對稱點O，連接DO并延長交直線MC于P，

此P點為所求，且線段DO的長為|DP﹣AP|的最大值；

設(shè)直線DO表達式為 y=kx，

∴﹣5=﹣6k，

解得：k= ，

∴直線DO表達式為 y= x

又∵在直線DO上的點P的橫坐標為2，y= ，

∴P（2， ），

此時|DP﹣AP|=DO= =

【解析】（1）利用A，B點坐標得出AO，BO的長，進而得出AB的長，即可得出圓的半徑；（2）根據(jù)A，B 兩點求出直線AB表達式為：y=﹣ x+3，根據(jù) B，D 兩點求出 BD 表達式為 y= x+3，進而得出BD⊥AB，求出BD為⊙M的切線；（3）根據(jù)D，O兩點求出直線DO表達式為 y= x 又在直線 DO 上的點P的橫坐標為2，所以 p（2， ），此時|DP﹣AP|=DO= ．