Question

【題目】在中，，點在底邊上，的兩邊分別交、所在直線于、兩點，，．

（1）如圖1，若，，求證：；

（2）如圖2，求的值（含的式子表示）；

（3）如圖3，連接，若，，且，直接寫出的值為______．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）3或

【解析】

（1）連接，根據等腰直角三角形的性質可得，然后根據三線合一可得，從而得出，，利用ASA即可證出，從而得出結論；

（2）過點D作于，于，根據相似三角形的判定定理分別證出，，列出比例式即可求出結論；

（3）過點E作EG⊥BC于G，過點F作FH⊥BC于H，根據平行線可證△AEF∽△ABC，列出比例式可設AE=AF=5a，則AB=AC=8a，利用銳角三角函數用a表示各個線段，然后根據相似三角形的判定定理證出△GED∽△HDF，列出比例式即可列出關于n的方程，從而求出結論．

（1）證明：連接，

，

，

又，

，

，

，

，

而，

；

（2）解：過點D作于，于，

，

，

，

①

由（1）可知：，

，

，

②

由①式、②式知：．

（3）過點E作EG⊥BC于G，過點F作FH⊥BC于H

∵

∴∠B=45°

∴∠B=∠C=45°，△ABC、△GBE和△HCF都為等腰直角三角形， =90°

∴GE=GB，HC=HF

∵，且，

∴∠AEF=∠B=45°，∠AFE=∠C=45°，△AEF∽△ABC

∴AE=AF，

設AE=AF=5a，則AB=AC=8a

∴BE=FC=3a

∴GE=GB=BE·cos∠B=，HF=HC=FC·cos∠C=，BC=

∵∠EGD=∠DHF=∠EDF=90°

∴∠GED＋∠EDG=90°，∠HDF＋∠EDG=90°

∴∠GED=∠HDF

∴△GED∽△HDF

∴

即

∴DH=，DG=

∵GB＋DG＋DH＋HC=BC

∴＋＋＋=

整理，得

解得：n=3或

故答案為：3或．