Question

【題目】（問題探究）如圖1，，直線，垂足為，交于點，點到直線的距離為2，點到的距離為1，，，則的最小值是______；（提示：將線段沿方向平移1個單位長度即可解決，如圖2所示．）

（關聯運用）如圖3，在等腰和等腰中，，在直線上，，連接、，則的最小值是______．

Answer 1

【答案】

【解析】

[問題探究]過點A作AH⊥b于H，過點B作BK⊥b于K，作BJ⊥AH交AH的延長線于J，連接MK、AB和AK，根據兩點之間線段最短可得=AM＋MK≥AK（當且僅當A、M、K共線時，取等號），然后利用勾股定理求出AK即可；

[關聯運用]過點F作直線l∥BA，交CA的延長線于點N，取AC的中點G，作C關于直線l的對稱點M，連接MF、GF、MN，根據對稱性和平行四邊形的判定及性質推出CF=MF，GF=CE，根據兩點之間線段最短可得=GF＋MF≥MG（當且僅當G、F、M共線時，取等號），然后利用勾股定理求出MG即可．

解：[問題探究]過點A作AH⊥b于H，過點B作BK⊥b于K，作BJ⊥AH交AH的延長線于J，連接MK、AB和AK

由圖易知，四邊形HJBK為矩形，MN=BK=1，MN∥BK，AH=2＋1=3，AJ=2＋1＋1=4

∴四邊形MNBK為平行四邊形，HK=BJ

∴BN=MK

∴=AM＋MK≥AK（當且僅當A、M、K共線時，取等號）

在Rt△ABJ中，BJ=

∴HK=3

∴AK=

∴≥

即的最小值是；

故答案為：；

[關聯運用]過點F作直線l∥BA，交CA的延長線于點N，取AC的中點G，作C關于直線l的對稱點M，連接MF、GF、MN

由對稱性可得CF=MF，CN=MN，∠CNF=∠MNF

∵在等腰和等腰中，

∴∠FED=∠BAC=45°，EF=DF=2，AC=BC=4

∴EF∥AC，CG=AG=AC=2=EF

∴四邊形CEFG為平行四邊形

∴GF=CE

∴=GF＋MF≥MG（當且僅當G、F、M共線時，取等號）

∵直線l∥BA

∴四邊形EFNA為平行四邊形，∠CNF=∠BAC=45°

∴AN=EF=2，∠CNF=∠MNF=45°

∴GN=AG＋AN=4，MN=CN=AC＋AN=6，∠MNC=∠CNF＋∠MNF=90°

根據勾股定理可得MG=

∴≥

即的最小值為．

故答案為：．