Question

【題目】如圖1，已知拋物線y=x2﹣x﹣3與x軸交于A和B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，頂點為D

（1）求出點A，B，D的坐標；

（2）如圖1，若線段OB在x軸上移動，且點O，B移動后的對應點為O′，B′．首尾順次連接點O′、B′、D、C構成四邊形O′B′DC，請求出四邊形O′B′DC的周長最小值．

（3）如圖2，若點M是拋物線上一點，點N在y軸上，連接CM、MN．當△CMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形時，直接寫出點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣2，0），B（4，0），D（1，﹣）；（2）4++；（3）N的坐標為（0，）、（0，）、（0，﹣）或（0，﹣）．

【解析】

試題分析：（1）令拋物線解析式中y=0，解關于x的一元二次方程即可求出點A、B的坐標，再利用配方法將拋物線解析式進行配方即可得出頂點D的坐標；（2）作點C（0，﹣3）關于x軸的對稱點C′（0，3），將點C′（0，3）向右平移4個單位得到點C″（4，3），連接DC″，交x軸于點B′，將點B′向左平移4個單位得到點O′，連接CO′，CO″，則四邊形O′B′C′C″為平行四邊形，此時四邊形O′B′DC周長取最小值．再根據兩點間的距離公式求出CD、DC″的長度，即可得出結論；（3）按點M的位置不同分兩種情況考慮：①點M在直線y=x﹣3上，聯立直線與拋物線解析式求出點M的坐標，結合點C的坐標以及等腰直角三角形的性質即可得出點N的坐標；②點M在直線y=﹣x﹣3上，聯立直線與拋物線解析式求出點M的坐標，結合點C的坐標以及等腰直角三角形的性質即可得出點N的坐標．綜合兩種情況即可得出結論．

試題解析：（1）令y=x2﹣x﹣3中y=0，則x2﹣x﹣3=0，解得：x1=﹣2，x2=4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵y=x2﹣x﹣3=（x2﹣2x）﹣3=（x﹣1）2﹣，∴D（1，﹣）．（2）令y=x2﹣x﹣3中x=0，則y=﹣3，∴C（0，﹣3）．D（1，﹣），O′B′=OB=4．如圖1，

作點C（0，﹣3）關于x軸的對稱點C′（0，3），將點C′（0，3）向右平移4個單位得到點C″（4，3），連接DC″，交x軸于點B′，將點B′向左平移4個單位得到點O′，連接CO′，C′O′，則四邊形O′B′C′C″為平行四邊形，此時四邊形O′B′DC周長取最小值．此時C四邊形O′B′DC=CD+O′B′+CO′+DB′=CD+O′B′+DC″．∵O′B′=4，CD==，C″D==，∴四邊形O′B′DC的周長最小值為4++．（3）△CMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形分兩種情況（如圖2）：

，①過點C作直線y=x﹣3交拋物線于點M，聯立直線CM和拋物線的解析式得：，解得：或（舍去），∴M（，）．∵△CMN為等腰直角三角形，C（0，﹣3），∴點N的坐標為（0，）或（0，）；②過點C作直線y=﹣x﹣3交拋物線于點M，聯立直線CM和拋物線的解析式得：，解得：或（舍去），∴M（﹣，﹣）．∵△CMN為等腰直角三角形，C（0，﹣3），∴點N的坐標為（0，﹣）或（0，﹣）．綜上可知：當△CMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形時，點N的坐標為（0，）、（0，）、（0，﹣）或（0，﹣）．