Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，點O在AB上，且AC，BC分別與圓O相切于點M、N，若AO=15厘米，OB=20厘米，則圓O的面積為______平方厘米．

Answer 1

連接OM，ON，如圖所示：

∵AC，BC分別與圓O相切于點M、N，
∴OM⊥AC，ON⊥BC，
∴∠CMO=∠CNO=90°，又∠C=90°，
∴四邊形CMON為矩形，
∴ON∥AC，
∴∠BON=∠A，又∠AMO=∠ONB=90°，
∴△AMO∽△ONB，
∴

OA

BO

=

OM

BN

，
設OM=ON=x厘米，AO=15里面，BO=20厘米，
在Rt△BON中，根據勾股定理得：BN=

OB2-ON2

=

400-x2

，
∴

15

20

=

x

400-x2

，即400x²=225（400-x²），解得：x=12，
∴圓O的半徑為12厘米，
則圓O的面積為π×12²=144π（平方厘米）．
故答案為：144π