Question

已知：正方形ABCD的邊長為4，⊙O交正方形ABCD的對角線AC所在直線于點T，連接TO交⊙O于點S．

（1）如圖1，當⊙O經過A、D兩點且圓心O在正方形ABCD內部時，連接DT、DS．
①試判斷線段DT、DS的數量關系和位置關系；
②求AS+AT的值；
（2）如圖2，當⊙O經過A、D兩點且圓心O在正方形ABCD外部時，連接DT、DS．求AS-AT的值；
（3）如圖3，延長DA到點E，使AE=AD，當⊙O經過A、E兩點時，連接ET、ES．根據（1）、（2）計算，通過觀察、分析，對線段
AS、AT的數量關系提出問題并解答．

Answer 1

（1）①線段DT、DS的數量和位置關系分別是：DT=DS，DT⊥DS．理由如下：
∵AC為正方形ABCD的對角線，
∴∠TAD=45°，
∵TS為直徑，
∴∠SDT=90°，
又∵∠TSD=∠TAD，
∴∠TSD=45°，
∴△DST為等腰直角三角形，
∴DT=DS，DT⊥DS；
②∵∠SDT=∠ADC=90°，
∴∠SDA=∠CDT，
又∵TS為直徑，
∴∠SAT=90°，
∴∠SAD=45°，
∴∠SAD=∠DCT，
而DA=DC，
∴△DAS≌△DCT，
∴AS=TC，
∴AS+AT=AC，
而正方形ABCD的邊長為4，
∴AC=4

2

，
∴AS+AT=4

2

；
（2）∵TS為直徑，
∴∠SAT=90°，∠SDT=90°，
∴∠SAC=90°，
而∠CAD=45°，
∴∠SAD=45°，
∴∠STD=45°，
∴△DST為等腰直角三角形，
∴DS=DT，
又∵∠SAD=∠DCT=45°，∠ASD=∠DTC，
∴△DAS≌△DCT，
∴AS=TC，
∴AS-AT=TC-AT=AC=4

2

；
（3）提出的問題是：求AT-AS的值．解答如下：
在TA上截取TF=AS，連接EF，如圖，
∵∠TAE=∠BAC=45°，
∴△EST為等腰直角三角形，
∴SE=TE，
又∵∠ASE=∠ETF，
在△EAS和△EFT中，

SA=TF ∠ASE=∠FTE SE=TE

∴△EAS≌△EFT（SAS），
∴∠SEA=∠TEF，AE=EF，
而∠TES=90°，
∴∠AEF=90°，
∴△AEF為等腰直角三角形，
∴AF=

2

AE，
∵AE=AD=4，
∴AT-AS=AT-TF=AF=4

2

．