Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中（BC>AB），過A作AF⊥BC，垂足為F，過C作CH⊥AB，垂足為H，交AF于G，點E為FC上一點，且GE⊥ED．

（1）若FC=2BF=4,AB=，求平行四邊形ABCD的面積．

（2） 若AF=FC，F為BE中點，求證：．

Answer 1

【答案】（1）24；（2）見解析.

【解析】

（1）由勾股定理求出AF的長度，然后即可求出面積；

（2）連接AC，先證△ABF≌△CGF，得AG=CE，再證△AGC≌△ECD，得ED=AC，就可以證明.

解：（1）∵FC=2BF=4，

∴BF=2，BC=2+4=6，

∵AF⊥BC，

∴∠AFB=90°，

在直角三角形ABF中，由勾股定理得，

，

∴平行四邊形ABCD的面積為：；

（2）連接AC，如圖：

，

∵AF⊥BC，CH⊥AB，

∴∠AFB=∠CFG=∠CHB=90°，

∴∠ABF+∠BAF=∠ABF+∠BCH=90°，

∴∠BAF=∠BCH，

∵AF=CF，

∴△ABF≌△CGF，

∴BF=GF，AB=CG=CD，

∵F為BE中點，

∴BF=GF=EF，

∴，

即AG=CE，

∵∠AGC=∠GFC+∠BCH=90°+∠BCH，

∠BAD=∠GAD+∠BAF=90°+∠BAF，

∴∠AGC=∠BAD=∠ECD，

∴△ACG≌△EDC，

∴AC=DE，

∵在直角三角形ACF中，由勾股定理，得

，

∵AD+AG=BC+CE=2EF+2CE=2CF，

即

∴,

∴.