Question

若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，我們把這條對角線叫這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形．如菱形就是和諧四邊形．
（1）如圖1， 在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求證：BD是梯形ABCD的和諧線；
（2）如圖2，在12×16的網格圖上（每個小正方形的邊長為1）有一個△ABC，點A、B、C均在格點上，請在給出的兩個網格圖上各找一個點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形的兩條對角線都是和諧線，并畫出相應的和諧四邊形；
（3）四邊形ABCD中 ，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四邊 形ABCD的和諧線，求∠BCD的度數．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）作圖見解析；（3）135°，90°或45°.

試題分析：（1）要證明BD是四邊形ABCD的和諧線，只需要證明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；
（2）根據扇形的性質弧上的點到頂點的距離相等，只要D在中點時構成的四邊形ABDC就是和諧四邊形；連接BC，在△BAC外作一個以AC為腰的等腰三角形ACD，構成的四邊形ABCD就是和諧四邊形，
（3）由AC是四邊形ABCD的和諧線，可以得出△ACD是等腰三角形，從圖4，圖5，圖6三種情況運用等邊三角形的性質，正方形的性質和30°的直角三角形性質就可以求出∠BCD的度數．
試題解析：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ADB，
∴△ADB是等腰三角形．
在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，
∴∠BDC=∠C=75°，
∴△BCD為等腰三角形，
∴BD是梯形ABCD的和諧線；
（2）由題意作圖為：圖2，圖3

（3）∵AC是四邊形ABCD的和諧線，
∴△ACD是等腰三角形．
∵AB=AD=BC，
如圖4，當AD=AC時，
∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC
∴△ABC是正三角形，
∴∠BAC=∠BCA=60°．
∵∠BAD=90°，
∴∠CAD=30°，

∴∠ACD=∠ADC=75°，
∴∠BCD=60°+75°=135°．
如圖5，當AD=CD時，
∴AB=AD=BC=CD．
∵∠BAD=90°，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°
如圖6，當AC=CD時，過點C作CE⊥AD于E，過點B作BF⊥CE于F，
∵AC=CD．CE⊥AD，
∴AE=AD，∠ACE=∠DCE．
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，
∴四邊形ABFE是矩形．
∴BF=AE．
∵AB=AD=BC，
∴BF=BC，
∴∠BCF=30°．
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC．
∵AB∥CE，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°，
∴∠BCD=15°×3=45°．