Question

【題目】如圖，O是△ABC的內心，BO的延長線和△ABC的外接圓相交于D，連結DC、DA、OA、OC，四邊形OADC為平行四邊形．

（1）求證：△BOC≌△CDA．

（2）若AB=2，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】分析: （1）根據內心性質得∠1=∠2，∠3=∠4，則AD=CD，于是可判斷四邊形OADC為菱形，則BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，易得OA=OC，∠2=∠3，所以OB=OC，可判斷點O為△ABC的外心，則可判斷△ABC為等邊三角形，所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，再根據平行四邊形的性質得∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA=OB，則根據“SAS”證明△BOC≌△CDA；

（2）作OH⊥AB于H，如圖，根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理得到∠BOH=30°，根據垂徑定理得到BH=AH=AB=1，再利用含30度的直角三角形三邊的關系得到OH=BH=，OB=2OH=，然后根據三角形面積公式和扇形面積公式，利用S陰影部分=S扇形AOB-S△AOB進行計算即可.

詳解:

（1）證明：∵O是△ABC的內心，

∴∠2=∠3，∠5=∠6，

∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，

由AD∥CO,AD=CO，∴∠4=∠6，

∴△BOC≌△CDA（AAS）

(2)由（1）得，BC=AC,∠3=∠4=∠6，

∴∠ABC=∠ACB

∴AB=AC

∴△ABC是等邊三角形

∴O是△ABC的內心也是外心

∴OA=OB=OC

設E為BD與AC的交點，BE垂直平分AC.

在Rt△OCE中，CE=AC=AB=1，∠OCE=30°，

∴OA=OB=OC=

∵∠AOC=120°，

∴

=

=

點睛: 本題考查了三角形的內切圓與內心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內心就是三角形三個內角角平分線的交點．也考查了等邊三角形的判定與性質和扇形面積的計算.