Question

已知在△ABC中，∠BAC=90°，M是邊BC的中點，BC的延長線上的點N滿足AM⊥AN．△ABC的內切圓與邊AB、AC的切點分別為E、F，延長EF分別與AN、BC的延長線交于P、Q，則=（ ）
A．1
B．0.5
C．2
D．1.5

Answer 1

【答案】分析：取△ACB的內切圓的圓心是O，連接OE、OF，得出正方形AEOF，求出AE=AF，推出∠AEF=∠AFE=∠CFQ，根據直角三角形斜邊上中線性質求出AM=MC，推出∠MCA=∠MAC，根據∠BAC=∠MAG=∠MAN=90°，求出∠GAE=∠MAC=∠MCA，∠EAM=∠CAP，根據三角形的無解外角性質得出∠GAE=∠APE+∠AEP，∠MCA=∠Q+∠CFQ，求出∠Q=∠NPQ，推出PN=NQ即可．
解答：解：取△ACB的內切圓的圓心是O，連接OE、OF，作NA的延長線AG，
則OE⊥AB，OF⊥AC，OE=OF，
∵∠BAC=90°，
∴四邊形AEOF是正方形，
∴AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠BAC=90°，M為斜邊BC上中線，
∴AM=CM=BM，
∴∠MAC=∠MCA，
∵∠BAC=90°，AN⊥AM，
∴∠BAC=∠MAG=∠MAN=90°，
∴∠GAE+∠EAM=90°，∠EAM+∠MAC=90°，∠MAC+∠CAN=90°，
∴∠GAE=∠MAC=∠MCA，∠EAM=∠CAP，
∵∠GAE=∠APE+∠AEP，∠MCA=∠Q+∠CFQ，
∵∠AEF=∠AFE=∠CFQ，∠EPA=∠NPQ，
∴∠Q=∠NPQ，
∴PN=QN，
∴=1，
故選A．
點評：本題考查了三角形內切圓與內心、直角三角形斜邊上中線性質、等腰三角形的性質和判定、三角形的外角性質、對頂角相等等，題目綜合性比較強，有一定的難度，對學生提出較高的要求．