Question

【題目】如圖，在△ABC中,∠B=45°, ，等腰直角△DAE中，∠DAE=90°，且點D是邊BC上一點。

(1)求AC的長；

(2)如圖1，當點E恰在AC上時,求點E到BC的距離；

(3)如圖2, 當點D從點B向點C運動時，求點E到BC的距離的最大值。

圖1 圖2

Answer 1

【答案】(1)4(2) (3)

【解析】試題分析：（1）作AF⊥BC，垂足為F，由已知可得BF=AF=2，從而得CF=BC-BF=2，在Rt△FAC中，利用勾股定理即可求出AC長；

（2）過點A作AB的垂線交BC于點G，連接EG，證明△BAD≌△GAE，從而得∠AGE=∠ABD=45°，EG=BD，繼而得∠EGB=90°，得到點E到BC的距離為EG的長，設BD=x，則DF=2-x，CD=2+2-x，在Rt△ADF中，AD2=AF2+DF2=22+（2-x）2， 在Rt△ADC中，AD2=CD2-AC2=（2+2-x）2-42，從而解得x= ，即得到點E到BC的距離；

（3）當點D從點B向點C運動時，由（2）知點E到BC的距離為EG的長，即為BD的長，從而得到最大值即為BC的長.

試題解析：(1)作AF⊥BC，垂足為F，

∵∠B=45°，∴△FBA為等腰直角三角形，

∴BF=AF，

∵AB=2 ，∴AF=BF=2，

∵BC=2+2，∴CF=BC-BF=2，

在Rt△FAC中，AC= =4；

（2）過點A作AB的垂線交BC于點G，連接EG，

∵∠B=45°，∠BAG=90°，∴△GBA為等腰直角三角形，∴AB=AG， ∠AGB=45°，

∵∠DAE=90°，△DAE為等腰直角三角形，

∴AD=AE，∠BAD=∠GAE，∴△BAD≌△GAE，∴∠AGE=∠ABD=45°，EG=BD，

∴∠EGB=∠AGE+∠AGB=45°+45°=90°，故點E到BC的距離為EG的長，

設BD=x，則DF=2-x，CD=2+2-x，

在Rt△ADF中，AD2=AF2+DF2=22+（2-x）2，

在Rt△ADC中，AD2=CD2-AC2=（2+2-x）2-42，

∴22+（2-x）2=（2+2-x）2-42，解得x= ，

∴點E到BC的距離EG=BD=；

(3)當點D從點B向點C運動時，

由（2）可知△BAD≌△GAE，

∴∠AGE=∠ABD=45°，EG=BD，

∴∠EGB=∠AGE+∠AGB=45°+45°=90°，故點E到BC的距離為EG的長，

∵EG=BD，

∴當BD=BC=時，點E到BC的距離最大，最大值為.