Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AC與弦BD相交于點F，點E是DB延長線上一點，∠EAB＝∠ADB.

（1）求證：EA是⊙O的切線；
（2）已知點B是EF的中點，AF＝4，CF＝2，求AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連接CD，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC＝90°.

∴∠ADB+∠EDC ＝90°

∵∠BAC＝∠EDC， ∠EAB ＝∠ADB，

∴∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝90°,

∴EA是⊙O的切線；

（2）如圖，連接BC

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ABC＝90°.

∴∠CBA＝∠ABC ＝90°.

∵B是EF的中點，

∴在Rt△EAF中，AB＝BF.

∴∠BAC＝∠AFE

∴△EAF∽△CBA.

∴ ，

∵AF＝4，CF＝2，

∴AC＝6，EF＝2AB.

∴ ，解得AB＝ ，

∴EF＝ .

∴AE＝

【解析】（1）連接CD，由AC是⊙O的直徑，得出∠ADC=90°，由角的關系可求出∠EAC=90°，即可證出EA是⊙O的切線。
（2）連接BC，由AC是⊙O的直徑，可得出∠ABC=90°，由在Rt△EAF中，B是EF的中點，可得出∠BAC=∠AFE，就可證出△EAF∽△CBA，得對應邊成比例，求出AB、EF的長，然后利用勾股定理即可求出AE的長。