Question

【題目】如圖①，在 中，，平分的外角，與的垂直平分線相交于點，連結．

（1）求證：；

（2）如圖②，的角平分線與中線相交于點，若，，，則 ．（直接填數值）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接AH交BC于點O，過點H作HQ⊥BC于點Q，作HP⊥AC交AC的延長線于點P，利用HL證出Rt△BHQ≌Rt△AHP，再利用三角形外角的性質即可得出結論；

（2）過點E作ED⊥BC于D，連接AN，根據勾股定理的逆定理即可判斷△ABC為直角三角形，∠BAC=90°，然后根據勾股定理即可求出ED，再結合等高時，面積比等于底之比即可推出結論．

解：（1）連接AH交BC于點O，過點H作HQ⊥BC于點Q，作HP⊥AC交AC的延長線于點P

∵HE垂直平分AB

∴BH=AH

∴∠ABH=∠HAB

∵平分的外角

∴CH平分∠QCP

∴HQ=HP，∠QCP =2∠BCH

在Rt△BHQ和Rt△AHP中

∴Rt△BHQ≌Rt△AHP

∴∠HBQ=∠HAP

∵∠QCP=∠CAB＋∠CBA=∠HAB＋∠HAP＋∠CBA=∠HAB＋∠HBQ＋∠CBA=∠HAB＋∠ABH=2∠ABH

∴∠ABH=∠BCH

（2）過點E作ED⊥BC于D，連接AN

∵，

∴△ABC為直角三角形，∠BAC=90°

∵CE平分∠ACB

∴AE=ED，∠ACE=∠DCE

∴∠AEC=90°－∠ACE=90°－∠DCE=∠DEC

∴AC=CD=6

∴BD=BC－CD=4

設AE=ED=x，則BE=AB－AE=8－x

在Rt△EDB中，ED2＋BD2=BE2

x2＋42=（8－x）2

解得：x=3,

即AE=ED=3，BE=5

S△ABC=AC·AB=24

∴S△ACE=·S△ABC=×24=9，S△BCE=·S△ABC=×24=15

∵點M為AC的中點

∴S△BCM=S△ABC=12，S△NAM=S△NCM，

設S△NAM=S△NCM=S，

∴S△ANE=S△ACE－S△NAM－S△NCM=9－2S，S△BCN=S△BCM－S△NCM=12－S

∴S△NBE= S△BCE－S△BCN=3＋S

∵

∴

解得：

∴S△ACN=2S=，S△ANE= 9－2S=

∴

∴

故答案為：．