Question

如圖：△ABC中，AD是邊BC上的中線，過點A作AE∥BC，過點D作DE∥AB與AC、AE分別交于點O、E，連接EC.

小題1:求證：AD=EC；（4分）
小題2:當∠BAC=90º時,求證:四邊形ADCE是菱形；（3分）
小題3:在(2)的條件下,若AB=AO,且OD=,求菱形ADCE的周長.（5分）

Answer 1

小題1:∵AE∥BC，DE∥AB  ∴四邊形ABDE是平行四邊形（1分）
∴AE=BD ∵D是BC中點 ∴DC=DB（2分）
∴AE="DC" ，AE∥DC ∴四邊形ADCE是平行四邊形（3分）
∴AD=EC（4分）
小題2:當∠BAC=90º時，AD是Rt△ABC斜邊上的中線，（5分）
∴AD=（6分）
∴四邊形ADCE是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）（7分）
小題3:∵ADCE是菱形 ∴對角線AC⊥DE且O是DE中點（8分）
∵ABDE是平行四邊形 ∴AB="DE" 又已知AB="AO"
∴AO=DE=2DO=2 （10分）
在Rt△AOD中，可求出AD= （11分）
∴菱形ADCE的周長為4（12分）

（1）先證四邊形ABDE是平行四邊形，再證四邊形ADCE是平行四邊形，即得AD=CE；
（2）由∠BAC=90°，AD上斜邊BC上的中線，即得AD=BD=CD，證得四邊形ADCE是平行四邊形，即證；
（3）利用菱形和平行四邊形的性質求出菱形一邊的長度，然后再求出它的周長。