Question

【題目】在等腰中，，點是延長線上一點，連接，點是上一點，連接交于點，．

（1）如圖1，當點是中點時，若，求的長；

（2）如圖2，連接，求證：

Answer 1

【答案】（1）4-2

（2）見解析

【解析】

（1）只要證明Rt△BAD≌Rt△CAF（HL），推出∠DBA=∠ACF，因為∠EFB=∠AFC，推出∠BEF=∠FAC=90°，即可證明CB=CD=4解決問題；
（2）如圖2中，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N．只要證明四邊形AMEN是正方形，Rt△AMD≌Rt△ANF（HL）即可解決問題；

（1）解：如圖1中，

∵AB=AC，∠BAC=90°，BC=4，
∴AB=AC=2，
∵BD=CF，AB=AC，
∴Rt△BAD≌Rt△CAF（HL），
∴∠DBA=∠ACF，
∵∠EFB=∠AFC，
∴∠BEF=∠FAC=90°，
∴CE⊥BD，
∵BE=DE，
∴CB=CD=4，
∴AF=AD=CD-AC=4-2．
（2）證明：如圖2中，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N．

∵△BAD≌△CAF，AM⊥BD于M，AN⊥EC于N．
∴AM=AN（全等三角形對應邊上的高相等），
∴∠AEM=∠AEN=45°，
∴AM=EM=EN=AN，
∴四邊形AMEN是正方形，
∵AD=AF，AM=AN，
∴Rt△AMD≌Rt△ANF（HL），
∴DM=FN，
∴DE+EF=EM+DM+EN-FN=2EM，
∵AE=EM，
∴DE+EF=AE．