Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2﹣4ax+1與x軸的正半軸交于點A和點B，與y軸交于點C，且OB=3OC，點P是第一象限內的點，連接BC，△PBC是以BC為斜邊的等腰直角三角形．

（1）求這個拋物線的表達式；

（2）求點P的坐標；

（3）點Q在x軸上，若以Q、O、P為頂點的三角形與以點C、A、B為頂點的三角形相似，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P（2，2）；（3）（﹣4，0）或（﹣2，0）．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數法即可得出結論；

（2）先判斷出△PMC≌△PNB，再用PC2=PB2，建立方程求解即可；

（3）先判斷出點Q只能在點O左側，再分兩種情況討論計算即可．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2﹣4ax+1，∴點C的坐標為（0，1）．

∵OB=3OC，∴點B的坐標為（3，0），∴9a﹣12a+1=0，∴a=，∴．

（2）如圖，過點P作PM⊥y軸，PN⊥x軸，垂足分別為點M、N．

∵∠MPC=90°﹣∠CPN，∠NPB=90°﹣∠CPN，∴∠MPC=∠NPB．

在△PCM和△PBN中，∵∠PMC=∠PNB，∠MPC=∠NPB，PC=PB，∴△PMC≌△PNB，∴PM=PN．

設點P（a，a）．

∵PC2=PB2，∴a2+（a﹣1）2=（a﹣3）2+a2．

解得a=2，∴P（2，2）．

（3）∵該拋物線對稱軸為x=2，B（3，0），∴A（1，0）．

∵P（2，2），A（1，0），B（3，0），C（0，1），∴PO=，AC=，AB=2．

∵∠CAB=135°，∠POB=45°，在Rt△BOC中，tan∠OBC=，∴∠OBC≠45°，∠OCB＜90°，在Rt△OAC中，OC=OA，∴∠OCA=45°，∴∠ACB＜45°，∴當△OPQ與△ABC相似時，點Q只有在點O左側時．

（i）當時，∴，∴OQ=4，∴Q（﹣4，0）．

（ii）當時，∴，∴OQ=2，∴Q（﹣2，0）．

當點Q在點A右側時，綜上所述，點Q的坐標為（﹣4，0）或（﹣2，0）．