Question

如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．

(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°．

解答下列問題：

①當點D在線段BC上時(與點B不重合)，如圖甲，線段CF、BD之間的位置關系為________，數量關系為________．

②當點D在線段BC的延長線上時，如圖乙，①中的結論是否仍然成立，為什么？(要求寫出證明過程)

(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點D在線段BC上運動．且∠BCA＝45°時，如圖丙請你判斷線段CF、BD之間的位置關系，并說明理由(要求寫出證明過程)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)①CF⊥BD，FC＝BD．2分 　　②當點D在BC的延長線上時①的結論仍成立．3分 　　證明：∵正方形ADEF， 　　∴AD＝AF，∠DAF＝90°， 　　∵∠DAF＝∠BAC， 　　∴∠DAF＋∠CAD＝∠BAC＋∠CAD， 　　即：∠DAB＝∠FAC， 　　∵AB＝AC，AD＝AF， 　　∴△DAB≌△FAC， 　　∴CF＝BD，∠ACF＝∠B，6分 　　∵∠BAC＝90°，AB＝AC， 　　∴∠ABC＝45°， 　　∴∠ACF＝∠ACB＋∠ACF＝∠ACB＋∠ABC＝90°， 　　即CF⊥BD．8分 　　(2)當∠BCA＝45°，CF⊥BD，9分 　　證明：過點A作AG⊥AC于A交BC于點G， 　　∴∠AGC＋∠ACG＝90°， 　　∵∠ACG＝45°， 　　∴∠AGC＝∠ACG＝45°， 　　∴AC＝AG， 　　與(1)②同理，CF⊥GD，即CF⊥BD．12分