Question

已知橢圓E：

x2

20

+

y2

16

=1，點A是橢圓與y軸的交點，F為橢圓的右焦點，直線l與橢圓交于B，C兩點．
（1）若點M滿足：

AF

=2

FM

，

OM

=

1

2

(

OB

+

OC

)．
①求點M的坐標；②求直線l的方程；
（2）設直線l的方程為y=kx+m，若

AB

•

AC

=0，D在BC上，且

AD

•

BC

=0．
①求證：直線l恒過一定點，并求出該定點坐標；②求動點D的軌跡方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,證明題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由題意得，a=2

5

，b=4，c=2；
（1）①寫出F（2，0），設點M（x，y）；討論A的坐標，從而由

AF

=2

FM

求出M的坐標；
②討論點M的坐標，從而寫出直線l的方程，再由點M是線段BC的中點求直線l的方程；
（2）①y=kx+m與與橢圓方程聯立消y可得，（4+5k²）x²+10kmx+5m²-80=0，借助韋達定理簡化運算，從而求出（k²+1）

5m2-80

4+5k2

+k（m-4）

-10km

4+5k2

+（m-4）²=0，從而可求出m的值，從而得到定點；
②若A（0，4），則y=kx-

4

9

，設點D（x，y），則由

AD

•

BC

=0可得

y-4

x-0

•k=-1；化簡得到動點D的軌跡方程，同理討論A（0，-4）時的情況即可．

解答： 解：由題意得，a=2

5

，b=4，c=2；
（1）F（2，0），設點M（x，y）；
①若A（0，4），則

AF

=（2，-4），

FM

=（x-2，y）；
則由

AF

=2

FM

可得，

2=2(x-2) -4=2y

，
解得，x=3，y=-2；
若A（0，-4），則

AF

=（2，4），

FM

=（x-2，y）；
則由

AF

=2

FM

可得，

2=2(x-2) 4=2y

，
解得，x=3，y=2；
故點M的坐標為（3，-2）或（3，2）；
∵

OM

=

1

2

(

OB

+

OC

)，
∴B、C、M三點共線，且點M是線段BC的中點，
故若M（3，-2），設直線l的方程為y=k（x-3）-2；
與橢圓方程聯立消y可得，
（4+5k²）x²-10k（3k+2）x+5（3k+2）²-80=0，
則x_B+x_C=

10k(3k+2)

4+5k2

=3×2=6，
解得，k=

6

5

，
同理，當M（3，2）時，k=-

6

5

，
故直線l的方程為
y=

6

5

（x-3）-2或y=-

6

5

（x-3）+2，
即6x-5y-28=0或6x+5y-28=0，
（2）①證明：y=kx+m與與橢圓方程聯立消y可得，
（4+5k²）x²+10kmx+5m²-80=0，
則x_B+x_C=

-10km

4+5k2

，x_Bx_C=

5m2-80

4+5k2

；
若A（0，4），則

AB

=（x_B，y_B-4），

AC

=（x_C，y_C-4）；
∵

AB

•

AC

=0
∴x_Bx_C+（y_B-4）（y_C-4）=0，
即x_Bx_C+k²x_Bx_C+k（m-4）（x_B+x_C）+（m-4）²=0，
即，（k²+1）

5m2-80

4+5k2

+k（m-4）

-10km

4+5k2

+（m-4）²=0，
即m=4或m=-

4

9

；
當m=4時，直線l恒過點A，不是要求的直線，
故m=-

4

9

；
則直線l恒過定點（0，-

4

9

）；
若A（0，-4），同理可得直線l恒過定點（0，

4

9

）；
②若A（0，4），則y=kx-

4

9

，
設點D（x，y），
則由

AD

•

BC

=0可得，

y-4

x-0

•k=-1；
化簡可得，
k（y-4）+x=0，
即

y+ 4 9

x

（y-4）+x=0，
化簡可得，x²+y²-

32

9

y=

16

9

，
若若A（0，-4），同理可得x²+y²+

32

9

y=

16

9

．

點評：本題考查了圓錐曲線的綜合應用，無論化簡與思路都比較困難，屬于難題．