Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A=AC=

2

AB，AB=BC=a，D為BB₁的中點．
（1）證明：平面ADC₁⊥AA₁C₁C；
（2）求點B到平面ADC₁的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）首先利用線面垂直的性質得到線線垂直，進一步利用線線垂直轉化成線面垂直，最后轉化成面面垂直．
（2）利用（1）的結論解出相關的線段長，進一步利用體積相等求出結果．

解答： （1）證明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A=AC=

2

a，AB=BC=a，D為BB₁的中點．
所以：AB⊥BC
取AC的中點E，AC₁的中點F，連接BE，DF．
所以：DF∥BE
由于：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BE⊥AC，BE⊥CC₁
所以：BE⊥平面AA₁C₁C．
由于DF∥BE
DF⊥平面AA₁C₁C．
DF?平面ADC₁
所以：平面ADC₁⊥AA₁C₁C；
（2）根據（1）的結論DF⊥平面AA₁C₁C．
所以：DF=BE=

2

2

a，AC₁=2a
S△ADC1=

1

2

•2a•

2

2

a
S△ABD=

1

2

•a•

2

2

a
利用VB-ADC1=VC-ABD
設點B到平面ADC₁的距離為h．

1

3

•

2

2

a•

1

2

•2a•h=

1

3

•

a

2

•

2

2

a•a
解得：h=

a

2

點評：本題考查的知識要點：線面垂直的判定和性質定理，錐體的體積公式的應用及相關的運算問題．屬于基礎題型．