Question

【題目】若關(guān)于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：法一：(換元法)
設(shè)t＝2x(t>0)，則原方程可變?yōu)閠2＋at＋a＋1＝0，(*)
原方程有實(shí)根，即方程(*)有正根．
令f(t)＝t2＋at＋a＋1.
①若方程(*)有兩個(gè)正實(shí)根t1 ， t2 ，
則 解得－1＜a≤2－2 ；
②若方程(*)有一個(gè)正實(shí)根和一個(gè)負(fù)實(shí)根(負(fù)實(shí)根，不合題意，舍去)，則f(0)＝a＋1<0，解得a<－1；
③當(dāng)a＝－1時(shí)，t＝1，x＝0符合題意．
綜上可知實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，2－2 ]．
法二：(分離變量法)
由方程，解得a＝－ ，設(shè)t＝2x(t>0)，
則a＝－ ＝－
＝2－ ，其中t＋1>1，
由基本(均值)不等式，得(t＋1)＋ ≥2 ，當(dāng)且僅當(dāng)t＝ －1時(shí)取等號，故a≤2－2 .
綜上可知實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，2－2 ]．
【解析】先換元，令t=2x ， 則關(guān)于 t 方程為t2+at+a+1=0 有實(shí)根，令,結(jié)合基本不等式即可解出實(shí)數(shù)m的取值范圍．或者用分離參數(shù)，利用基本不等式，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．