Question

（本小題滿分13分）
已知橢圓C：的左、右頂點的坐標分別為,，離心率。
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）設橢圓的兩焦點分別為,，點P是其上的動點，
（1）當 內切圓的面積最大時，求內切圓圓心的坐標；
（2）若直線與橢圓交于、兩點，證明直線與直線的交點在直線上。

Answer 1

（1）
（2）．直線與直線的交點住直線上．

解：（Ⅰ）橢圓的方程       ……3分
（Ⅱ）（1），設邊上的高為，
設的內切圓的半徑為，因為的周長為定值6．
所以                                       ……5分
當P在橢圓上頂點時，最大為，
故的最大值為，
于是也隨之最大值為
此時內切圓圓心的坐標為……7分
（2）將直線代入橢圓的方程并整理．
得．
設直線與橢圓的C交點，
由根系數的關系，得．         ……9分
直線的方程為：，它與直線的交點坐標為
同理可求得直線與直線的交點坐標為．…11分
下面證明、兩點重合，即證明、兩點的縱坐標相等：
，


因此結論成立．
綜上可知．直線與直線的交點住直線上．     ……………13分