Question

【題目】若函數滿足：對于任意正數，都有，且，則稱函數為“函數”。

（1）試判斷函數是否是“函數”并說明理由；

（2）若函數為“函數”，求實數的取值范圍；

（3）若函數為“函數”，且.

求證（）；

（）對任意，都有.

Answer 1

【答案】（1）是，理由見解析；（2）（3）（）證明見解析；（）證明見解析

【解析】

（1）根據定義逐判斷即可；

（2）根據定義可知g（t）＝3t﹣1+a（3﹣t﹣1）＞0，即（3t﹣1）（3t﹣a）＞0對一切正數t恒成立，可得a≤1，由g（t）+g（s）＜g（t+s），可得3s+t﹣3s﹣3t+1+a（3﹣s﹣t﹣3﹣s﹣3﹣t+1）＞0，得出a≥﹣1，最后求出a的范圍；

（3）根據定義，令s＝t，可知f（2s）＞2f（s），即，利用累乘得對于正整數k與正數s，都有，進而得出結論．

（1）對于函數，當t＞0，s＞0時，，

又，所以f1（s）+f1（t）＜f1（s+t），

故是“L函數”．

（2）當t＞0，s＞0時，由g（x）＝3x﹣1+a（3﹣x﹣1）是“L函數”，

可知g（t）＝3t﹣1+a（3﹣t﹣1）＞0，即（3t﹣1）（3t﹣a）＞0對一切正數t恒成立，

又3t﹣1＞0，可得a＜3t對一切正數t恒成立，所以a≤1．

由g（t）+g（s）＜g（t+s），可得3s+t﹣3s﹣3t+1+a（3﹣s﹣t﹣3﹣s﹣3﹣t+1）＞0，

即3t（3s﹣1）﹣（3s﹣1）+a（3﹣s﹣1）（3﹣t﹣1）＝（3s﹣1）（3t﹣1）+a（3﹣s﹣1）（3﹣t﹣1）

＝（3s﹣1）（3t﹣1）+a3﹣s﹣t（3s﹣1）（3t﹣1）＞0，

故（3s﹣1）（3t﹣1）（3s+t+a）＞0，又（3t﹣1）（3s﹣1）＞0，故3s+t+a＞0，

由3s+t+a＞0對一切正數s，t恒成立，可得a+1≥0，即a≥﹣1．

綜上可知，a的取值范圍是[﹣1，1]．

（3）由函數f（x）為“L函數”，可知對于任意正數s，t，

都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），

令s＝t，可知f（2s）＞2f（s），即，

故對于正整數k與正數s，都有，

對任意x∈（2k﹣1，2k）（k∈N*），可得，又f（1）＝1，

所以，

同理，

故．