Question

【題目】如圖，矩形所在平面與等邊所在平面互相垂直，，分別為，的中點(diǎn).

（1）求證：平面.

（2）試問：在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，試指出點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論：若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在點(diǎn)，證明見解析.

【解析】

（1）連接交于點(diǎn),連接,則為的中點(diǎn),利用中位線的性質(zhì)求證即可；

（2）由題可分析得到平面,則,若平面平面,只需證明或,由于,共面,故利用平面幾何性質(zhì)證明較易,進(jìn)而求證即可

（1）證明:連接交于點(diǎn),連接,

由矩形知為的中點(diǎn),

∵為的中點(diǎn),

∴,

∵平面,平面,

∴平面

（2）存在點(diǎn),當(dāng)時(shí),平面平面,證明如下:

∵四邊形是矩形,,,為中點(diǎn),

∴,,即,

又∵,

∴,∴,

∴,

∴,

∵為的中點(diǎn),為正三角形,

∴,

又∵平面平面,且平面平面,平面,

∴平面,

又∵平面,

∴,

又,

∴平面,

∵平面,

∴平面平面