Question

【題目】已知橢圓C：（）的左、右焦點分別為，且橢圓上存在一點P，滿足.，

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）已知A，B分別是橢圓C的左、右頂點，過的直線交橢圓C于M，N兩點，記直線，的交點為T，是否存在一條定直線l，使點T恒在直線l上？

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在.

【解析】

（1）在內利用余弦定理求得，根據橢圓的定義求得，由此求得，從而求得橢圓的標準方程.

（2）設，，，利用、求得的關系式，設的方程為與橢圓的方程聯立，并寫出韋達定理，并代入上述求得的的關系式，由此判斷出橫在直線上.

（1）設，內，由余弦定理得，

化簡得，解得，

故，∴，

所以橢圓C的標準方程為

（2）已知，，設，，由

，①

，②

兩式相除得.又，

故，③

設的方程為，代入整理，

得，恒成立.

把，代入③，

得

，得到，故點T在定直線上.