Question

（1）已知等邊三角形的兩頂點坐標分別是（x₁，y₁）、（x₂，y₂），求第三個頂點的坐標（用含x₁，y₁，x₂，y₂）的代數式表示；
（2）已知正方形的兩頂點坐標分別是（x₁，y₁）、（x₂，y₂），求第三、四頂點的坐標（用含x₁，y₁，x₂，y₂）的代數式表示．

Answer 1

考點：平面向量的坐標運算

專題：平面向量及應用

分析：（1）設C（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于△ABC是等邊三角形，可得

BA

•（cos（-60°）+isin（-60°））=

BC

，利用復數與向量的運算即可得出．
（2）①假設坐標A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是相鄰兩坐標，設C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．利用

AD

=

AB

•(cos(-

π

2

)+isin(-

π

2

)）．

AC

=

AB

•

2

(cos(-

π

4

)+isin(-

π

4

))
②假設坐標A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）是相對兩坐標，設B（x₃，y₄），D（x₄，y₄）．同理可得：B，D的坐標．

解答： 解：（1）設C（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵△ABC是等邊三角形，只考慮逆時針旋轉．
∴

BA

•（cos（-60°）+isin（-60°））=

BC

，
化為

BC

=[（x₁-x₂）+i（y₁-y₂）]•(

1

2

-

3

2

i)=（

x1-x2

2

+

3 (y1-y2)

2

，

(y1-y2)- 3 (x1-x2)

2

）
∴x_C=x₂+

x1-x2

2

+

3 (y1-y2)

2

=

x1+x2+ 3 (y1-y2)

2

，
y_C=y₂+

(y1-y2)- 3 (x1-x2)

2

=

(y1+y2)- 3 (x1-x2)

2

．
∴C（

x1+x2+ 3 (y1-y2)

2

，

(y1+y2)- 3 (x1-x2)

2

）．
（2）①假設坐標A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是相鄰兩坐標，設C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
則

AD

=

AB

•(cos(-

π

2

)+isin(-

π

2

)）=[（x₂-x₁）+（y₂-y₁）i]•（-i）=（y₂-y₁，x₂-x₁）．
∴x_D=x₁+y₂-y₁，y_D=y₂+x₂-x₁，即D（x₁+y₂-y₁，y₁+x₂-x₁）．

AC

=

AB

•

2

(cos(-

π

4

)+isin(-

π

4

))=（x₂-x₁+y₂-y₁，y₂-y₁-x₂+x₁），
∴C（x₂+y₂-y₁，y₂-x₂+x₁）．
②假設坐標A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）是相對兩坐標，設B（x₃，y₄），D（x₄，y₄）．
同理可得：B(

x2+x1-y2+y1

2

，

x2-x1+y1+y2

2

)，D(

x1+x2+y2-y1

2

，

x1-x2+y2+y1

2

)．

點評：本題考查了綜合三角形與正方形的性質、復數與向量的對應關系及其旋轉，考查了數形結合的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．