Question

【題目】已知函數()，且滿足.

（1）求a的值；

（2）設函數，()，若存在，，使得成立，求實數t的取值范圍；

（3）若存在實數m，使得關于x的方程恰有4個不同的正根，求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）

【解析】

（1）根據題意，代入函數值，即可求解；

（2）根據題意，求解函數和值域，若存在，，使得成立，轉化為值域有交集，即可求解參數取值范圍；

（3）由（1）分析函數的值域，可知時，有兩根；再觀察方程，同除后方程可化簡為，只需使方程在上有兩根，即可求解.

（1）由，得或0.

因為，所以，所以.

（2），

所以;故的值域為

因為時，在上單調遞增，，

所以的值域為，由題意，

考慮到，所以，解得;

綜上:實數t的取值范圍是

（3）當時，，在上為增函數;

當時，.

可得在上為減函數，當時，.

方程可化為，

即.

設，方程可化為.

要使原方程有4個不同的正根，

則關于s方程在有兩個不等的根，，

則有，解得，

所以實數m的取值范圍為.