Question

【題目】已知.

（Ⅰ）若曲線與軸有唯一公共點，求的取值范圍；

（Ⅱ）若不等式對任意的恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.

【解析】

試題（Ⅰ）由題意，函數有唯一零點，求導，分類討論得到函數的單調性，利用零點的存在定理，即可求得實數的取值范圍；

（Ⅱ）由題意，可得，構造新函數，則對任意的恒成立，分類討論，得到函數的單調性，轉化為利用函數的，即可求解實數的取值范圍.

試題解析：

（Ⅰ）解：函數的定義域為..

由題意，函數有唯一零點..

（1）若，則.

顯然恒成立，所以在上是增函數.

又，所以符合題意.

（2）若，.

；.

所以在上是減函數，在上是增函數.

所以 .

由題意，必有（若，則恒成立，無零點，不符合題意）.

①若，則.

令，則 .

；.

所以函數在上是增函數，在上是減函數.

所以.所以，當且僅當時取等號.

所以，，且.

取正數，則 ；

取正數，顯然.而，

令，則.當時，顯然.

所以在上是減函數.

所以，當時，，所以.

因為，所以 .

又在上是減函數，在上是增函數.

則由零點存在性定理，在、上各有一個零點.

可見，，或不符合題意.

注：時，若利用，，，說明在、上各有一個零點.

②若，顯然，即.符合題意.

綜上，實數的取值范圍為.

（Ⅱ） .

令，則對任意的恒成立.

（1）當時，.

當時，，所以在上是減函數.

所以，當時，.可見，符合題意.

（2）若，顯然在上是減函數.

取實數，顯然.

則 （利用）

.

又，在上是減函數，

由零點存在定點，存在唯一的使得.

于是，當時，，函數在上是增函數.

所以，當時，.可見，不符合題意.

當時，分如下三種解法：

解法一：（3）若，，.

令，顯然在上是減函數，

所以，當時，，當且僅當時取等號.

所以，當時，，在上是減函數.

所以，當時，.

所以，在上是減函數.

所以，當時，.可見，符合題意.

（4）若，，.

令，顯然在上是減函數，且，

，

所以，存在唯一的，使得，即.

于是，當時，；當時，.

所以，當時，；當時，.

所以，在上是增函數，在上是減函數.

所以，在上的最大值 .

將式代入上式，得 .

所以，當時，，所以在上是減函數.

所以，當時，.可見，符合題意.

綜上，所求的取值范圍是.

解法二：（3）若，對任意的恒成立對任意的恒成立.

令，.

，當時， ，

所以在上是增函數.所以.

顯然在上是減函數，.

所以，當時，