Question

【題目】已知拋物線的焦點為，，是拋物線上關于軸對稱的兩點，點是拋物線準線與軸的交點，是面積為4的直角三角形.

(1)求拋物線的方程；

(2)若為拋物線上異于原點的任意一點，過作的垂線交準線于點，則直線與拋物線是何種位置關系？請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)相切，理由見解析.

【解析】

（1）由直角三角形及對稱性可設直線的方程為,聯立,解得點坐標,則可得到點坐標,進而利用三角形面積求得,即可得到拋物線方程；

（2）設,則直線的斜率為,則可設直線的方程為,令,求得點坐標,進而求得直線的斜率,利用導數得到拋物線在點處的切線斜率,即可判斷位置關系

(1)由題,為,是直角三角形,且,是拋物線上關于軸對稱的兩點,

所以,設原點為,則,

不妨設點位于第一象限,則設直線的方程為,

聯立方程,解得,

所以,,

,

解得,

故拋物線的方程為

(2)相切,

由（1）得焦點,

設,則直線的斜率為,

所以直線的方程為,

令,得,所以點,

則直線的斜率為,

由得,即拋物線在點處的切線的斜率為,

故直線與拋物線相切